Réciproquement, toute équation du premier degré

(3) A^+Bj' + G5 + D = o

représente un plan. En effet, on peut déterminer des angles a, [i, y et une longueur ayant pour mesure algébrique/?, tels que l'équation (2) soit équivalente à l'équation (3). Pour qu'il en soit ainsi, il faut déterminer X de façon que

cosa=XA, cosp = XB, cosy = XG, — p — ID;

mais pour que cosa, cos[3, cosy soient les cosinus directeurs d'une denii-dioile, il faut et il suffit que

X2F(A, B, G) = oj2,

ce qui donne, en posant R-=: F(A, B, C),

et, ensuite,

, ^ A(o - Bco Go) Dto

(4) COSa=£--, COSp=£— , COSY = £— , —p = z —

Si les axes sont rectangulaires, co = i , R =+ y/A=^+ B-4- C^. Dans le cas général nous supposerons toujours w > o, ainsi que cela a été dit plus haut.

Il convient de remarquer que les deux déterminations de e correspondent à un même plan ; car supposons que ON corresponde à s 4- I , la demi-droite opposée ON' correspond alors à s = — i ; mais comme, en passant du premier cas au second,/? change de signe sans changer de valeur absolue, on obtient le même point H et, par suite, le même plan P, dans les deux cas. L'équation (2) est donc l'équation d'un plan déterminé.

Remarquons que l'équation (3) renferme trois paramètres. Il faudra donc trois conditions pour déterminer un plan.

4-9. Cas particuliers. — Si le plan P passe par l'origine, /? = o j son équation ne contient pas de terme constant.

Si p varie seul, le plan P se déplace parallèlement à lui-même.

D'après cela

X cos a -Hj'cos^ -f-5 cos y = o

représente le plan mené par l'origine parallèlement au plan défini par l'équation (i).

De même

Ax-^ îiy -+-Cz — o et

A a" ^- Hy -H G 5 -t- D = o

représentent deux plans parallèles, le premier passant par l'origine.

L'équation

X — Xo+y cos V + ^ cos [x = o

est celle du plan perpendiculaire à l'axe des x, mené par le point

Pareillement

X cosv -\-y — jKo + -S cosX — o

représente le plan perpendiculaire à Oy menée par le point (o, yo? o)- Il en résulte que les équations