SS

Donc l'équation /i = o représente une surface dont tous les plans tangents sont isotropes et qui, étant du second degré, est un cône isotrope ou sphèrepoint. On peut remarquer qu'une telle sphère fait en général un angle infini avec une autre sphère quelconque

(S) sp,-^,= o,

(' ) Il y a ici une simplification due à ce que la forme fondamentale est identique avec son adjointe; dans le cas général le point j:,, x^, . . ., a;, est représenté par l'é- ({uation

et l'on a d'ailleurs

\dx^ ' dxj ~

SIR LKS TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE. SlQ

car on a

cosO = -— '^ )

f't l'on a

FI y a exception dans le cas où

l'angle est alors indéterminé; la sphère S passe alors par le centre P de la sphère-point; ces résultats sont évidents par la Géométrie. Cherchons le rayon R de la sphère

2 iXiiCi = o.

Si l'on a identiquement

I.oiiXi= Aix^-r-y^'-v z^)-i- ?.Bx^2.Cy-^-2Dzi- H; on sait que

B2^G2-f-D2— AH ^ = A^

Or A, B, G, D, H sont des fonctions linéaires des a; on a donc

j^2 ^ ?(gi,a8, ....as) ^ tl;2(a,,a2, .. .,^5)'

'f étant une forme quadratique et t!; une forme linéaire. D'ailleurs le rayon est nul si © = o et infini si 4^ = o; donc l'équation <p == o exprime que la sphère se réduit à un point et il» = o qu'elle se réduit à un plan; donc o en particulier est ici la forme fondamentale

o = a^-l-a|H-a§-T-a|-t-a|, et nous avons

(^ia,H- lzoi.2-\- /3OC3-I- 4aiH- ^«5)^

Dans bien des théories, il y a avantage à pouvoir donner un signe au rayon d'une sphère, c'est-à-dire à pouvoir considérer comme distinctes deux, sphères de même centre et de rayons égaux, en supposant ces rayons de signes contraires; on peut ainsi distinguer plus aisément les centres d'homothétie, etc. ( Voir plus loin, n" 40.) On y parvient aisément ici en posant

et l'on a

ICti

(7, ai -+-... -t- /sŒs)

Le signe de a^ est déterminé par le signe du rayon de la sphère; deux "phères qui coïncident et ont leurs rayons de signes contraires ont toutes

leurs coordonnées égales, sauf «e; une sphère a ainsi six coordonnées homogènes liées par la relation symétrique

Sa? = o.

On a pour l'angle de deux sphères

Nous conviendrons de prendre le signe — de manière que deux sphères qui coïncident fassent un angle nul; on a alors

COSe = -(°'lt^l+«2^2 + ---+°t5p5)

afiS

On a, entre la distance des centres, les rayons et l'angle des sphères, la relation

rf?r= R2-f-R'2=h2RR'cosG,

relation dans laquelle on doit prendre le signe -+- ou le signe — suivant la convention que l'on fait pour définir l'angle. Ici, dans le cas de deux sphères coïncidentes, nous devons prendre le signe — ; donc, par raison de continuité, l'angle 6 défini par la formule (i) satisfait à la relation

dî= R2 4-R'2 2RR'cosO, les rayons ayant leur signe d'après les formules

Dans le cas où R et R' sont nuls, c'est-à-dire où les sphères sont des points, on a

■^^ = -.RR'cosO= =i:ii^iI^,l±Mi).

Comme d'ailleurs, dans ce cas,

Sa2..o, Sj3f = o, on peut écrire aussi

et la distance de deux points infiniment voisins est donnée par la formule ( ^ )

(' ) Si a,, a^, . . . , Oj satisfaisaient aux deux relations £a^ = o, SZ,a; = o, ce ne seraient pas les coordonnées d'un point, mais d'un plan isotrope. Nous laisserons de

î28. La condition pour que deux sphères soient tangentes est donnée par la formule

cos V = I ou

«1 Pi -I- «2 p2 -*- • • • ~ «5 p5 -t- «G Pg ~ O ;

on exclut le cas où cosV — — i; les sjjhères ne sont pas alors considérées comme tangentes; quand cosV — i, on a d — ±(l{ — R'); si cosV — — i,

Si l'on elï'ectue sur les a une transformation homographique II qui laisse invariante l'équation

af-f-a|-r-...-4-a?-i-ag = o,

tieux cas peuvent se présenter. Si la transformation n'altère pas a^, la transformation sur ai, aj, ..., «^ devant donner lieu à l'identité

aj -f- a; -H . . . -+- a| = a'j- -(-...-)- a'--,

nous savons qu'elle se réduit à une combinaison d'inversions et de déplacements. Nous pouvons d'ailleurs prendre, lorsque les signes de a',, . . ., ^'5 sont choisis, soit

soit

Cela revient à changer le signe des rayons des sphères après l'inversion. Or, c'est un fait remarquable, depuis longtemps mis en évidence par M. Darhoux, que dans une inversion, le rayon de la sphère transformée s'exprime rationnellement au moyen du rayon de la sphère donnée. Si a, b, c, p sont les coordonnées du centre et le rayon d'une sphère, on trouve aisément pour la sphère transformée,

c'est en vertu d'une convention que nous prenons le signe -1- dans celte dernière formule; on aurait pu aussi bien prendre le signe — ; d'ailleurs, on a aussi

côté ce cas d'exception où l'on n'a pas K = o, ainsi que celui où le point est dans le plan de l'infini, au sujet duquel on peut consulter l'Ouvrage cité de M. Darboux.

On pourrait déduire de ces formules la théorie des coordonnées de la sphère en procédant comme nous l'avons fait plus haut pour les coordonnées des points. On poserait

«2 -4- 62 -4- ci

et l'on aurait les formules de transformation

X'^^X, Y'=Y, Z'=Z, R'=R, U' qui laisseraient invariable la relation fondamentale

X2 -4- Y2 -+- Z2 — R2 — UV = o.

En posant la forme fondamentale s'écrit

U— V = 2,ri, f(UH^V) := 2:^5, R

iXa,

et le rayon p d'une sphère est donné par la formule

R — ixf, ' V x<^-T- ixs

Revenons aux transformations homographiques H, conservant la forme

Nous venons de voir que, dans le cas où ag reste invariable, elles équivalent à une inversion, au signe près pour le rayon, mais que ce signe est parfaitement déterminé dans chaque cas; nous reviendrons plus loin sur ce point. On déduit aisément des formules précédentes que toutes les transformations H s'obtiennent en combinant les inversions et déplacements avec les dilatations, transformations qui consistent à augmenter d'une quantité constante le rayon de chaque sphère. Il suffit de combiner les transformations qui laissent x^ invariable avec la transformation particulière

On voit, en effet, aisément que l'on a identiquement, en conservant les notations précédentes,

2^ OC ; - — '■ ^^ ^ i j

x\ = xx,

OC [^ ~~r' 1/OC K — CCt^ ~T~ tCC^^

x'q = x^-h ih{Xi -+- ix^ ),

x\ — ix'^ = a?4 — ix^ -+- h-{xi^-+- ix^ ) -

- ihx^

SLR LES TRA>SF0RMATIONS EN GÉOMÉTRIE. 523

D'ailleurs toute transformation H s'obtient en combinant la transformation (T) avec les transformations qui laissent x^ invariable. Nous nous contenterons, pour le moment, de ces indications, nous réservant de revenir sur les transformations (T) après avoir parlé des transformations de contact (voir n" 41).