V. — Transformations corrélatives

29. On sait que, au lieu de regarder une figure comme formée de points, on peut la considérer comme enveloppe de plans (n° 200). Se placer à ce dernier point de vue revient à considérer l'espace comme formé de plans, tandis que d'babitudc on le considère comme formé de points. Dès lors, au lieu de considérer des transformations ponctuelles par lesquelles à un point correspond un point, on peut considérer des transformations tangcntielles par lesquelles à un plan correspond un plan. Pour avoir la transformée d'une figure par une telle transformation il suffit de prendre l'enveloppe des plans transformés de ses plans tungents. On peut aussi considérer des transformations mixtes faisant correspondre aux points d'un espace les plans d'un autre espace. Mais il n'y a pas lieu d'étudier, en général, les transformations que nous venons de signaler, bien que certaines d'entre elles soient intéressantes et méritent à ce titre une étude particulière; en effet, ces transformations tangentielles ou mixtes peuvent s'obtenir en combinant avec les transformations ponctuelles la transformation simple :

U\ = Xi, u\ = X.2, «3 — X3, U\ = Xi,.

C'est cette transformation que nous allons étudier tout d'abord. Nous désignons par Xi, x^, x^, x^ les coordonnées ponctuelles et par «j, Ui, Uz, «4 les coordonnées tangentielles de sorte que l'équation d'un plan est

«1 Xi -T- l<2 X-i-^ U^X^ — U<^X'^ = o.

D'ailleurs, les lettres non accentuées se rapportent à la figure primitive et les lettres accentuées à la figure transformée. Aux divers points du plan

UiXi -T- «2^2 -i- "3-^3 -^ U!,X,^ = o

correspondent des plans dont les coordonnées u\, u'^, u\, u\ satisfont à la relation

Ul u\ - «2 "2 "^ "i "'3 "*~ "* "» = O,

c'est-à-dire les plans passant par le point :

x\ = Ul, X^ = «2, x\ = W3, x',^ = u.,.

On voit que la transformation précédente est involutive, c'est-à-dire rcslc la même si l'on permute les lettres accentuées et les lettres non accentuées.

024 NOTK

On peut remarquer qu'un point et le point correspondant sont pôle et polaire par rapport à la quadrique

xl -{- xl -+- xl -+- xl = o,

d'où le nom de transformation par polaires réciproques que Poncelet a donné à la transformation considérée. Il est facile de constater que, si un point X décrit une surface S. le plan correspondant u' enveloppe une surface S' et que le point de contact x' de u' avec S' correspond au plan u tangent à S en X. Le plan u' a, en effet, pour équation

(i) XiXi -h XiXi^ X3X-i^Xi,Xi = o,

Xi, Xi, 373, x^ coordonnées d'un point de S étant liés par la relation homogène

(2) J\xx, X2,X3, x,,) — o.

Le point de contacta?' du plan (1) avec son enveloppe est défini par les équations (n° 201)