EL ^ EL = 1^1 = AL

dxi dx^ dXs àxi^

qui figurent dans les équations (3) ne dépendraient que à'un paramètre au lieu de deux, ce qui a lieu quand la surface (2) est développable (*), on obtiendrait, par l'élimination de cet unique paramètre, deux, relations entre x\, x'^y ar'j, x\, c'est-à-dire une courbe. Réciproquement, si l'on part d'une courbe définie comme lieu de points, il lui correspondra un plan dépendant d'un paramètre, lequel enveloppera une développable.

Nous reviendrons sur cette transformation d'une courbe en une développable après avoir étudié à fond la transformation des lignes droites; mais auparavant nous désirons dire quelques mots de la transformation corrélative générale, représentée par les formules

U\ = «11 a?! -H «12^72 Ua ^= a^\X\ H— 6^22 '■^2 «3 = asi^^i -f- «32^72

"4 = ai^\X\ -i- a<^<iX^

Xz

.oc^,

,xz

Xz

,Xi,,

a Vf.

(') On lient compte toujours, bien entendu, de l'équation

le déterminant des Uik étant essentiellement supposé différent de zéro. On voit qiio ^i If plan u\, u'^, 1*3, u\ passe par le point x\, x\^ x'^, x\. nn ;i

./•', (ai).r, -+-. . .-H «iv-r.,) -4- a?',(a2i-i'i -+-...)-'-••• = o,

ou, en abrégé,

:ùai/,xj.x'i — o, ce qui équivaut à

Za/^iXiX% = o,

(II' sorle que le point Xi, x^, X3, Xi, est situé dans le plan

«, — (iiix'i -+- a.2ix[y -f- a:iix'^ -f- «iiar'j,

«^ := anx', -f-. . . .

On voit que la transformation n'est pas, en général, involutive ; pour qu'elle le soit, il faut que les relations

xi : xo '. X3 : X-, = x\ : .r', : x'^ : x\

entraînent

ii'i : «2 • "'3 • "i = "1 * "2 • "3 * "v-

On reconnaît aisément que pour cela on doit avoir

La valeur commune de ces rapports peut être l'unité; le déterminant de« a//, est alors symétrique; c'est le discriminant d'une certaine forme quadratique

/{xi, .r,, X3, x^) — 'E.aikXiXk, et l'on a

Il i - -— ) U., — - -T— ' ....

•>, ax^ •>. ox-i

La transfornmtioti est une transformation par polaires réciproques par rapport à la quadrique y = o.

Mais on peut satisfaire d'une autre manière aux équations (1). en supposant la valeur commune des rapports égale à — i; on a alors

Le déterminant des a est un déterminant symétrique gauche; comme il est de degré pair, il n'est pas nul en général; en Géométrie plane, la solution correspondante à celle-ci serait à rejeter, car tout déterminant symétrique gauche de degré impair est nul. Si nous restons dans l'espace, nous pouvons, en changeant les notations, écrire les équations de la transformation

u' = bz — cy -+- a,

v' = ex — az -^'^, w' — ay — bx ~- '(,

s' == — (ax -i- ^y-hyz).

l'équation d'un plan étant mise sous la forme

Cette équation devient

a{yz' — zy') -\- b{zy' — xz') h- c{xy' — yx')

On voit que ce plan, qui correspond au point x,y, z, passe par ce point;

en posant

yz' — zy' = ax, ..., z' — z—Ci,

on peut écrire la relation précédente :

«a. H- 6^1 -i-CYi-i- 2cai -+• ^b^-^ ^Cy = o.

On voit que la droite de coordonnées aj, Pi, yi, ai, bi, Ci appartient à un «certain complexe linéaire; le plan correspondant d'un point donné est son pian polaire dans ce complexe et la transformation est dite : transformation par polaires réciproques par rapport au complexe. Le déterminant de la transformation est

— (aa-T- Z»^ -H cy j'^-

Le fait qu'il est différent de zéro exprime que a, 6, c, a, p, y ne sont pas les coordonnées d'une droite, ou que le complexe n'est pas spécial, c'està-dire n'est pas formé des droites rencontrant une droite donnée. On aura le cas le plus simple en supposant c = y = i ; les équations de la transformation sont alors

«2 = Xi,

Il est intéressant de récrire à côté de ces formules celles de la transformation par polaires réciproques par rapport à une quadrique, dans le cas le plus simple

\ U., = Xo,

On verrait aisément que toute transformation corrélative peut s'obtenir en

effectuant successivement une transformation homograpluque convenablement choisie et une de ces transformations particulières; cette proposition est un cas particulier de la suivante qui est évidente : la transformation

1*4 =/4(-^l) ^if ^35 -^i)

est le produit de la transformation

et de la transformation

30. Recherchons maintenant quelle est la transformée n de la transformation P par une transformation homographiquc H