II-' PII

Appelons (c) la conique qui a pour équation

.r\ -r- xl -T- xl -h xl = o

et r la transformée de c par H ; je dis que la transformation FI est une transformation par polaires réciproques par rapport à T. Soit en effet a un point et X son plan polaire par rapport à F; la transformation H-* remplace Y par G, a et e,l> respectivement par un point a et un plan A, qui sont pôle et |)olaire par rapport à C. Nous voyons donc que H-* remplace a par a, P remplace a par A et H remplace A par A., ; donc FI = H-'PH remplace a par A.

La démonstration par le calcul ne présente pas non plus de difficultés (*).

Ces propositions ont une grande importance au point de vue de l'emploi de la transformation par polaires réciproques pour la démonstration de propriétés des figures. Nous voyons que, si Von se place au point de vue projectif, le choix de la quadrique directrice (ou de la conique directrice dans le plan) est complètement indifférent.

On peut transformer par rapport à une quadrique particulière et effectuer

('; Un vcrraiL de mcuic que la LranslormaLiua 1' m; U aii-iui mr jjar une transformation homographiquc eu une transformation par polaires réciproques par rapport au complexe linéaire transformé du complexe

xy' — yx' -'■- z — z' ~ o.

ensuite une transformation homographique générale. Lorsqu'il s'agit de transformer des propriétés métriques, il semble que le choix de la surface directrice influe et, effectivement, la transformation de certaines de ces propriétés acquiert un énoncé particulièrement simple lorsque cette surface est une sphère (dans le plan on choisit un cercle et quelquefois une parabole). En réalité, la simplification ainsi obtenue est plus apparente que réelle, et l'on aura souvent avantage à procéder autrement : on énoncera la propriété métrique sous une forme projective; on transformera par rapport à une conique quelconque, par exemple, et ensuite on choisira dans la nouvelle figure la droite de l'infini et les points cycliques parmi les éléments qui jouent un rôle important, de manière à avoir un énoncé métrique.

31. Il résulte des remarques précédemment faites, que l'ensemble des transformations corrélatives et des transformations homographiques forme un groupe, que nous appellerons, dans ce qui suit, groupe (j".

Coordonnées de la droite. — Groupe (j*.

Ce groupe est représenté par des équations de deux natures très difi"érentes : les équations de la transformation homographique et celles de la transformation corrélative; il y a avantage à simplifier cette représentation, notamment si l'on désire étudier les propriétés invariantes par ce groupe; nous obtiendrons ce résultat par l'emploi des coordonnées de la droite, en même temps que nous rendrons intuitive l'existence du groupe (J".

On sait que l'on peut attribuer à une droite six coordonnées homogènes

liées par la relation

les coordonnées de la droite qui joint deux points : x^, x^, x^, x^ et j'i, y^^ Yi yu, sont données par les relations

Xiy\ — X'.y\ x^y<^ — a74jK2 ^3 /i — ^tjs

xiy^ — x-iji xsyi — xtys Xiy^ — x-^ji

et les coordonnées de la droite intersection des deux plans Mj, Ui, u^, «v et ^1, ^2; ^3} ^i P^i" les formules

UiVi «4^1 U^Vi^ «4*^2 Ihi'i — U!,V3

Cherchons comment les coordonnées de la droite sont transformées par

SUR LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE, une transformation homographiquc :

1 X\ — aiiXi -{- Uii^i -r- aisXi -f- Un^X;,

I a"^ = a; ja^i -4- 042^72 -t- «43^:3 -f- a44 3^4

On a, par exemple,

= («11^1 -+- ai2Xi-h «13a73-+-«14^4)(«4l7l-^ «4272-H «43/3 = («U«44 — «14«4l) (•2^174— iP47l) -+-••• -^- («1 1 «42 — «12«41 ) (^172 — ^271) ;

c'est-à-dire

en désignant par A//' le mineur de 0, qui s'obtient en supprimant les lignes de rangs i et k et les colonnes de rangs i' et k'. En se servant de la règle de Laplace pour le développement des déterminants, on voit aisément que l'on a

a'a'-i- b"^' -^ c'y' = A(aa -)- 6^ H- CY)•

Lediscriminantdea'a'^-6' ^'-f- c'y' est égal par suite àcelui de aa-+-6^-4-cv multiplié par A^, d'où l'on conclut que le module de la substitution qui remplace les a par les a' est A'.

On trouverait de même, pour la transformation corrélative,

les formules

( c'= Ana-^...-f-A^jY,

donnant lieu encore à l'identité (-i). Je dis que si, réciproquement, on transforme des droites de l'espace par des formules linéaires et homogènes

donnant lieu à l'identité

(i) a' a! -+- 6'P' -i- c'y' = A(aa -h 6[i -+- cy);

la transformation (3) appartient au groupe (j', c'est-à-dire est une transformation homographiquc ou une transformation corrélative. Cette proposition supposée démontrée met bien en évidence la propriété des transformations horaographiques et corrélatives de former un groupe, car il est évident que NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 3j

53o NOTE

l'ensemble des transformations (3), qui donnent lieu à l'identité (4), forme un groupe.

32. Pour démontrer cette proposition, nous pouvons observer qu'une forme quadratique à 6 variables ayant 21 coefficients, l'identité (4) établit 20 relations entre les 36 coefficients des relations (3); ces relations sont précisément celles qui existent identiquement entre les 36 coefficients des relations (i) et (i)', lesquels s'expriment au moyen des 16 coefficients at^. Si l'on admet, ce qui est à peu près évident, que ces 20 relations sont indépendantes, on peut en conclure réciproquement que, lorsqu'elles sont vérifiées, les 36 coefficients des relations (3) peuvent être identifiés avec les 36 Af/' qui figurent dans (i) ou dans (i)', et qui dépendent seulement des 16 paramètres a,/,. Cette démonstration a l'avantage d'être très simple, mais il faut convenir qu'elle n'a pas toute la rigueur désirable et, de plus, elle ne fait pas bien comprendre pourquoi le système (3) se ramène tantôt à la forme (1) et tantôt à la forme (1)'.

Pour abréger, nous ne nous étendrons pas ici sur ces explications complémentaires, qui seront inutiles après la lecture du paragraphe qui concerne les transformations dans l'espace à plusieurs dimensions (n°48). Signalons seulement le fait capital sur lequel elles s'appuient : l'identité (4) et la forme linéaire des formules (3) permettent d'écrire

S(a' -H a'i) (a'-t- a', ) = A-S(a -1- «j ) (a -|- aj ),

en supposant que l'indice i se rapporte à une seconde droite; on en conclut,

à cause de (4),

S(a'a\ -I- a'i a') = A-S(aai 4- ai»),

c'est-à-dire que la transformation (3) considérée remplace deux droites qui se coupent par deux droites qui se coupent. Un ensemble de droites dépendant de deux paramètres et tel que chacune de ses droites rencontre toutes les autres, c'est-à-dire un hyperfaisceau, sera donc remplacé par un hyperfaisceau; seulement deux cas peuvent se présenter : la transformation remplace une gerbe par une gerbe et un système plan par un système plan, ou bien elle remplace la gerbe parle système plan et le système plan par la gerbe. Dans le premier cas, elle est homographique et, dans le second cas, corrélative.

On voit que le groupe (J* est ici représenté par un seul système d'équations; mais il faut ajouter que les coefficients sont assujettis à certaines conditions, et que, si l'on voulait les expliciter, le système se décomposerait en deux; c'est ce que feront apparaître plus clairement les remarques suivantes.