Posons
( Y =/6(^i,^2, •••Je),
les f étant les symboles de formes linéaires à déterminant non nul; on a idenli<|iitMii<Mit
<o(^;) élant une forme quadratique au\ variables ^i, ^q» •••7 ;6 dont le déterminant n'est pas nul.
Il est clair que six quantités
[^Ij [^2î • • • > \H
satisfaisant à la relation
peuvent être considérées comme les coordonnées homogènes d'une droite, laquelle aura pour coordonnées ordinaires
D'ailleurs la condition pour que deux droites (Ji et v se rencontrent est, en vertu de l'identité (2) et de la forme linéaire des équations (i), que le coefficient de X dans
5oit nul, c'est-à-dire que l'on ait
vi f- V2 T h. . .-^v6 - — =0.
Oiii d[iî â^a
Il est clair qu'en choisissant convenablement la transformation (i), on pourra supposer que ti)(^) est une forme quadratique quelconque à discriminant non nul. Nous pourrons supposer par exemple
Il est évident que lorsqu'on lemplace les variables a, b, . . ., y par les variables ;, le groupe (J devient le groupe des transformations homographiques donnant lieu à l'identité
D'ailleurs, on peut toujours supposer le coefficient de proportionnalité par lequel il est permis de multiplier les Ç' choisi de manière que l'on ait
co(ï')-w(0.
La transformation est alors, dans le cas où co a la forme particulière (3), une transformation orthogonale à six variables; écrivons-la
La relation
k? + --.-^^7 = ll
donne
«11+ «f.2 + ---+ «ÏG=J>
«11 «21 "^ «12 «22 ~^ • • • "t~ «16 «2 fi ^^ O)
et les relations analogues; on démontre, de même que dans le cas de trois variables (p. 3i), que le déterminant des aïk est égal à ± i, de sorte que les transformations (F) se divisent en deux classes suivant que le déterminant est -1- I ou est — I. D'ailleurs le produit de deux transformations a un déterminant égal au produit des deux déterminants; on peut en induire, et cette induction sera pleinement justifiée plus loin (n° 48) que les transformations de déterminant -t- i sont des transformations homographiques et les transformations de déterminant — i des transformations corrélatives, car le produit de deux transformations de même espèce (homographiques ou corrélatives) est une transformation homographique, tandis que le produit de deux transformations d'espèces différentes est une transformation corrélative.
34. On voit que les transformations du groupe Ç ont ce caractère commun de remplacer par lui-même l'ensemble des droites de l'espace; seulement une distinction s'établit immédiatement entre les transformations homographiques et les transformations corrélatives. Les premières sont des transformations ponctuelles et font correspondre aux divers points d'une droite les divers points de la droite transformée; mais les secondes font correspondre aux points d'une droite les plans qui contiennent la droite transformée, et réciproquement.
Considérons une droite qui soit tangente à une surface S ou qui coupe une courbe G; on peut dire dans ces deux cas qu'il y a sur cette droite un point M et qu'il passe par cette droite un plan P, tels que P soit tangent en M à S ouàC. Gela posé, soit d'abord une surface non développable S; une transformation homographique ou corrélative lui fait correspondre une surface non développable S' et de manière qu'à l'ensemble d'un point et d'un plan tangents de S correspondra l'ensemble d'un point et d'un plan tangents de S'. Donc aux tangentes de S correspondent les tangentes de S'. Dans le cas où la surface S serait développable, le raisonnement subsiste pour la transformation homographique; la transformation corrélative lui fait correspondre une courbe et à l'ensemble de ses tangentes l'ensemble des droites qui rencontrent cette courbe. D'ailleurs, aux génératrices de la développable, c'està-dire aux droites telles que tous leurs points soient sur la surface, correspondent les tangentes de la courbe, c'est-à-dire des droites telles que tous leurs plans soient tangents à la courbe. Les quelques dérails que nous allons donner sur les transformations de contact éclairciront encore ces considérations.
