VI. — Transformations de contact

Le moment est, en effet, venu d'exposer aussi complètement que le permet l'exiguïté de notre cadre, la notion fondamentale à' élément de contact, due à M. Lie.

Éléments de contact.

3o. On appelle élément de contact l'ensemble d'un point x, y, z et d'un plan

Z-z=pa-x)-^q{Y-y)

passant par ce point. Les cinq quantités x,y^ z, p, q sont les cinq coordonnées de l'élément de contact; on voit que l'ensemble des éléments de contact de l'espace dépend de Cing paramètres; on dit quelquefois qu'un tel ensemble forme une infinité quintuple, ce que l'on exprime par le symbole oos.

Un élément de contact est dit appartenir à une surface, s'il est formé d'un point de cette surface et du plan tangent en ce point à la surface ; à une courbe, s'il est formé d'un point de cette courbe et d'un des plans tangents à cette courbe en ce point; à un point s'il est formé de ce point et d'un plan quelconque passant parce point. Avec ces conventions de langage, les divers faits géométriques suivants :

Deux surfaces sont tangentes;

Une surface et une courbe sont tangentes;

Deux courbes se coupent;

Une surface passe par un point;

Une courbe passe par un point;

Deux points coïncident,

peuvent être exprimés de la môme manière.

Les deux êtres géométriques considérés (surface, courbe ou point) ont un élément de contact commun.

Nous désignerons sous le nom de multiplicité l'ensemble doublement infini des éléments de contact qui appartiennent à une même surface, à une même courbe ou à un même point, et deux multiplicités ayant un élément de contact commun seront dites tangentes.

Si l'une des multiplicités est une courbe et l'autre un point, par exemple, dire qu'elles sont tangentes signifiera que la courbe passe par le point.

Avec ce langage abrégé, diverses propriétés de la transformation corrélative peuvent être réunies en un seul énoncé : cette transformation remplace deux multiplicités tangentes par deux multiplicités tangentes. Toute transformation ayant cette propriété fondamentale s'appelle transformation de contact; r^ous allons nous proposer de rechercher la forme gêné-

raie de toutes les transformations de contact; nous retrouverons en particulier toutes les transformations déjà étudiées dans les Chapitres précédents.

Une transformation de contact doit remplacer toutes les multiplicités ayant un élément de contact commun E par des multiplicités ayant en commun un autre élément de contact commun E'. Il est bien clair que l'on peut considérer une telle transformation comme faisant correspondre E' à E, c'està-dire que les coordonnées x' , y' , z\ p, q' de E' sont certaines fonctions des coordonnées x, y, z, /?, ^r de E :

D'ailleurs, ces équations (i) doivent pouvoir être résolues par rapport à X, y, z,p, q {n° il,]). Soi), c'est-à-dire établissent, entre ces cinq variables, cinq relations distinctes. En particulier, les trois premières de ces équations sont distinctes et, par suite, si l'on élimine entre ces trois équations distinctes les deux variables p et q, on obtiendra au moins (i) une relation entre x, y,z, x',y',z'. D'après cela, trois cas peuvent se présenter :

1° L'élimination de p et de q entre les équations

donne trois relations distinctes entre x, y, z, x' , y', z' ; cela revient à dire que ces trois équations ne renferment pas/» et ^; la transformation est donc une transformation ponctuelle et il n'y a pas lieu de s'y arrêter plus longuement. 1° L'élimination de/? et de q entre les équations (a) donne deux relations distinctes :

1 G(ar,jK, ^, x',y',z') = o.

JZ

3° L'éliminination de p et de q donne une seule relation entre x, y, z,

(4) (ji(x,y,z,x',y',z') = o.

Nous allons parler d'abord de ce dernier cas; nous étudierons ensuite le précédent.

(') Ces trois équations sont distinctes par rapport aux cinq variables x, y, z,p, q, mais ne le sont pas nécessairement par rapport aux deux variables p et q.

Transformations de contact de la première classe.

36. Nous partons donc de riiypothèse suivante : une certaine transformation T fait toujours correspondre à deux multiplicités tangentes deux multiplicités tangentes; de plus, entre les coordonnées x^ y, z,p,q\ x',y',z\ p', q' de deux éléments de contact correspondants existe la seule relation indépendante de p, q,p\q'

iM{x,y,z, x',y\z') = 0.

Nous allons voir que ces conditions suffisent pour déterminer la transformation (T). Considérons, en effet, un point

Les éléments de contact de ce point ont pour coordonnées a, b, c,p, q et l'on doit supposer p t\. q quelconques. D'après cela, les coordonnées J^,y', z',p', q' des éléments de contact correspondant aux éléments de contact du |)oint (a, b, c) seront liées par la seule relation indépendante de p' et q'

(5) io{a, b, c, x', y',z') = o.

En d'autres termes, la transformation considérée fait correspondre au point a, b, c la surface représentée par l'équation ( j). Considérons maintenant une surface S

et soit (a, b, c) un point de cette surface.

La surface S et le point {a, b, c) sont deux multiplicités tangentes; il doit donc leur correspondre deux multiplicités tangentes, c'est-à-dire que la multiplicité S' qui correspond à S est tangente à la surface (5); comme le même raisonnement peut être répété pour tout point (a, b, c) de S, l'on en conclut que l'on obtient S' en cherchant l'enveloppe de la surface

(4) w(ar, ^,z, a7',y, z') = o,

x,y,z étant des paramètres liés par la relation (S). On sait que l'on obtient cette enveloppe en éliminant x,y,z entre les relations (6), (4) et les suivantes :

Si l'on pose

ddi

dio

diù

dx

àl

dz

do ~

do

dx

dp

dz

do

do

dx

ày

dz

les équations (7) s'écriront

d(jL) du>

do) d(x)

oj^ ^ az

On peut remarquer que p Ql q sont les coefficients de l'équation du plan tangent à (S), écrite sous la forme

Z-z=p{li-x) + q{Y~y).

En d'autres termes, x^ y, z, /), g sont les coordonnées d'un élément de contact de S et l'on obtient les coordonnées x', y', z' de l'élément correspondant en résolvant les équations (4) et (7)'. On A'oit que ces coordonnées ne dépendent que des coordonnées de l'élément de contact et non de la surface (S).

Il en résulte qu'à une surface (S) correspond généralement une surface (S') définie par les équations

(8) {âi'^-Pdl^^'

■d]r-^^Tz =^'

dans lesquelles x^y, z, p^ q sont les coordonnées dépendant de deux paramètres d'un élément de contact de S. Il est aisé de calculer les coordonnées d'un élément de contact de S'; nous pouvons regarder les équations (7) comme définissant x', y', z' comme fonctions de a; et jk, ^ y étant considéré comme fonction de x et y, dont les dérivées partielles sont /» et q. En différentiant la première des équations (8), successivement par rapport à x et y, on obtient (i)

diù du) dtjy dx' ôm dy' ôm dz'

dx ' dz dx' dx dy' dx ' dz' àx '

d(i> d(xi dio dx' dui dy' doi dz'

dy dz dx' dy dy' dy dz' dy

En tenant compte des équations (8), on voit que l'on a

dfx) àu> ^ doi dy' dz' dy' dz' dz' dx' dz' dx' dx' dy' dx' dy' dx' ' dy' ' dz' dx dy dy dx ' dx dy dy dx ' dx dy dy dx

Or les trois quantités écrites dans le second membre sont proportionnelles

(' ) Le calcul se fait plus simplement par l'emploi des différentielles totales, emploi que j'ai tenu à éviter dans tout ce Chapitre.

aux coefficients de l'cquation du plan tangent écrit sous la forme

On en conclut

do) d(o ()u) , ,

c'est-à-dire

dx' df Oz ' ^

ay ■* dz

Ces équations montrent que/>' et q', de même que x',y,z', ne dépendent que de x, y, z^ p,q\ d'ailleurs leur analogie avec les équations (7)' montrent bien que la transformation est définie d'une manière symétrique par rapport aux lettres accentuées et non accentuées, ce qui devait être puisque l'on peut, en parlant de l'équation (4), raisonner d'une manière analogue sur ces deux systèmes de variables.

37. Nous avons fait une seule hypothèse restrictive, mais elle est essentielle; les équations (8) sont des équations distinctes en x\ y' , z', c'est-à-dire peuvent être résolues par rapport à ces trois variables, et donnent en général, c'est-à-dire si la surface S est quelconque, pour x', y', z', des fonctions de deux variables; d'ailleurs pour des surfaces S particulières, x', y', z' peuvent être des fonctions d'une seule variable ou même des constantes; à ces surfaces il correspond une courbe ou un point.

Inversement, nous aurions pu partir d'une courbe C; x, y, z auraient alors été des fonctions d'un seul paramètre et nous aurions été amené à chercher dans ces conditions l'enveloppe de la surface (4); en désignant par a, p, y les cosinus directeurs de la tangente à G, nous aurions eu à éliminer le paramètre qui définit G entre l'équation (4) et l'équation

dx ày ' dz

obtenue en dérivant (4) par rapport à ce paramètre. Gette dernière équation est une conséquence des équations (6') et de l'équation

qui exprime que le plan de tout élément de contact de G, c'est-à-dire tout plan tangent à G, contient la tangente à G; nous pouvons donc conserver les équations (7)' dans tous les cas.

Nous arrivons ainsi au résultat suivant : une première classe de transfor-

mations de contact est définie par les formules

ox oz

que l'on suppose essentiellement pouvoir être résolues, soit par rapport à X, y, z, p, q, soit par rapport à x', y', z\ p', q' . Il faut pour cela que la fonction caractéristique tu soit convenablement choisie. L'interprétation géométrique de ces formules est facile.

38. Des exemples éclairciront cette proposition générale; dans le cas où a> est bilinéaire,

w = ax\xx' -\- a\ixy' -k- a^iyx' -h . . .-+- «34-3 -f- «43 s' -t- a,^!^,

on retrouve la transformation corrélative; nous n'y reviendrons pas. Supposons maintenant

co = 372 -1- ^2 | ^2 — rpx' — yy' — zz'. Si l'on regarde x, y, z comme fixes, l'équation

représente un plan P passant par le point {x,y^ z) et perpendiculaire à la droite qui joint ce point à l'origine. Au lieu du point (a;, y, z) correspond l'enveloppe de ce plan; si le point {x,y,z) décrit une surface S, le plan P enveloppe une surface S', et S est la podaire de S' par rapport au point O. Si M' est un point {x' , y', z') de S', S est l'enveloppe de la sphère

x^ -^ y^ -h z^ — (xx' -h yy' -{- zz') — o

décrite sur OM' comme diamètre. Cette proposition est aisée à démontrer géométriquement; on examinera aussi aisément les cas particuliers oii S ou S' se réduit à une courbe.

On peut remarquer que la transformation que nous venons d'étudier rentre dans la classe de celles que nous avons appelées mixtes; en mettant l'équation d'un plan sous la forme

on pourrait l'ccrire

^yi^Z-i

Elle est le produit de l'inversion

et de la transformation corrélative

Cette proposition est d'ailleurs connue et peut se démontrer aisément par la Géométrie.

On obtient une autre transformation de contact très intéressante en prenant

co = (37 — x'y-i- (y — y')--^ (z — z')-— a^.

Cette transformation est involutive puisque x et x' figurent symétriquement dans to; à une surface S elle fait correspondre l'enveloppe des sphères de rayon a ayant leurs centres sur S; c'est la surface parallèle à S à une distance ± a, c'est-à-dire la surface obtenue en prenant sur les normales à S une longueur égale àdta. Nous reviendrons plus loin sur cette transformation pour l'étudier d'une manière plus approfondie (n" 41).

Transformations de contact de la deuxième classe.

39. Nous allons maintenant étudier le cas où il y a entre x, y, z, x\ y', z' deux relations distinctes

On verrait, par un raisonnement analogue à celui qui a été fait plus haut,

qu'à un point M (a; = a, y = b, z = c) correspond la courbe C représentée

par les équations

54o NOTE

et à un point M'(x' — a', y' = b\ z' — c') correspond la courbe (C) représentée par les équations

Si le point M décrit une courbe A, la courbe G' engendre une surface A' qui correspond à A ; si le point M' décrit une courbe B', la courbe G engendre une surface B qui correspond à B'. Si le point M décrit une surface S, on peut considérer cette surface comme formée de courbes A et prendre l'enveloppe des surfaces correspondantes A'; c'est une surface S' qui correspond à S. On peut aussi raisonner de la manière suivante : soit S' la surface qui correspond à S et M' un point de S'; la courbe (G) qui correspond à M' doit être tangente à S; on obtiendra donc le lieu de M' en exprimant que la courbe (G) est tangente à S ; on aura ainsi, en général, une relation entre a', b', c'. Nous n'insistons pas sur ces généralités, car nous allons, dans le paragraphe suivant, étudier une transformation particulière très importante, qui appartient précisément à la seconde classe.