VII. — Transformation de M. Lie

40. Nous possédons maintenant les éléments nécessaires pour faire une étude sommaire de la belle transformation due à M. Lie et qui est, selon l'expression de M. Darboux, l'une des plus belles découvertes de la Géométrie moderne. Rappelons d'abord certains résultats obtenus.

Éléments de contact en coordonnées pentasphériques .

Nous avons vu que les sphères de l'espace dépendent de quatre paramètres et qu'on peut les déterminer par six coordonnées homogènes liées par une relation quadratique fondamentale

(i) cp(ari,^2, ...,x^) = o.

D'ailleurs, le rayon d'une sphère est donné par une relation de la forme

m\Xi -r-. . .-^ m^x^

/ja^i +. . .-h /e^G '

deux sphères qui coïncident, mais dont les rayons sont considérés comme de signes contraires, ont des coordonnées différentes; enfin, on a un point dans le cas où les coordonnées satisfont à la relation

On peut d'ailleurs effectuer sur les x une transformation linéaire quel-

conque, et simplifier ainsi les relations (i) et (u) ; par exemple, on peut prendre

La condition pour que deux spiières Xi, x-i, . . ., Xq et jKit^î» • • •> JKe soient tangentes, est

do

Si l'une des deux sphères se réduit à un point, cela revient à dire que l'autre sphère passe par ce point.

Deux sphères tangentes définissent un élément de contact, et toutes les sphères ayant pour coordonnées

Zi = lxi-i-iiyi

ont en commun cet clément de contact. Je dis d'abord que les quantités Zi sont les coordonnées d'une sphère, si Xi el j'i sont les coordonnées de deux sphères tangentes. En effet, on a

^(Zi) = l^oixi) + X[x ^yi ^ -+- [x2cp(j,.),

et chacun des termes du second membre est nul. De plus, deux sphères quelconques zi et z'i sont tangentes; en posant

z'i = l'xi-h- ^'yi, on a

et chacun des termes du second membre est nul.

Or, il est bien clair que des sphères dépendant d'un paramètre ne peuvent être tangentes deux à deux que si elles ont un élément de contact commun. Quand on emploie des coordonnées pentasphériques, on ne regarde deux sphères comme tangentes que si le carré de la distance des centres est égal au carré de la différence des rayons, chacun des rayons ayant un signe; il en résulte qu'un élément de contact définit deux séries de sphères, telles que les sphères de chaque série soient tangentes entre elles, mais non avec celles de l'autre série. Prenons, par exemple, x, y, z étant les coordonnées cartésiennes du centre et R le rayon,

,, Xy^X2 X2^Xi Xi £6,

■^ x~y'~z~R~' x^^y^'-^z^ — Ri ~ i '

de sorte que

(f = Xl -i- Xl -h Xl —Xl— XiXs.

Il est clair que les sphères tangentes à l'origine au plan des xy sont définies par les relations

et deux d'entre elles ne sont tangentes que si l'on prend le même signe dans le second membre de la dernière égalité. Les relations

(i) ^1=^2 = 25 = 0, ^53 = ^4 = Xa -T- |ji6, ^6 = X -<- [Ji-

définissent un des deux systèmes de sphères tangentes entre elles deux à deux et les relations

(2) ;3i = z, = sj := o, 23 = — z<^-=\a-\- \xb , Zg = X -+- [JL

en définissent un autre. Nous pouvons convenir de considérer les relations (i) et in) comme définissant deux éléments de contact différents, que nous appellerons opposés, pour indiquer qu'ils ne diffèrent que par le sens. Les relations (1) définissent un élément de contact appartenant aux sphères de rayon positif, ayant leurs centres sur la partie positive de O^; nous regarderons la partie convexe de ces sphères comme leur endroit, de sorte que les relations (i) définissent un élément de contact dont l'endroit est au-dessous et l'envers au-dessus du plan des xy. C'est le contraire pour les équations (2). Il est à peine besoin d'ajouter que pour une sphère de rayon négatif, l'endroit sera la |)artie concave et l'envers la partie convexe ( ' ). Lorsqu'on peut distinguer analytiquement les deux côtés d'une surface, on regardera de même l'un comme l'endroit, l'autre comme l'envers, et l'on fixera ainsi les éléments de contact de la surface. Au point de vue auquel nous nous plaçons ici, il y aura lieu de regarder les points et les courbes comme possédant à la fois les éléments de contact opposés; pour une courbe on pourrait être amené, dans certaines théories, à donner un signe au rayon de courbure et à regarder comme appartenant à la courbe les éléments de contact qu'elle a en commun avec les sphères passant par le cercle osculateur et dont le rayon a même signe que le rayon de courbure; l'élément de contact correspondant au plan osculateur serait seul double.

41. Avec ces notions, on peut étudier avec plus de détails la transformation de contact dont nous avons déjà parlé et qui correspond à la fonction

(') M. Darboux a souvent insisté sur l'importance de la distinction des signes des rayons des sphères dans l'étude des problèmes de contact; la théorie des cycles de Laguerre se rattache au même ordre d'idées ; les coordonnées pentasphériques ne sont pas les seules qui permettent cette distinction, comme on le verra en lisant, dans le premier Volume de la Théorie des surfaces de M. Darboux, les développements consacrés aux systèmes de coordonnées a, p, \ et m, v, w, p et notamment leur application aux surfaces minima. Les idées que nous exposons sont donc loin d'être nouvelles dans le fond; ce qui est peut-être nouveau, c'est la forme que nous leur donnons en introduisant la notion d'élément de contact ayant un côté.

Kllc f'ail corii'spondre à un clément de contact, formé d'un point A et d'un plan P, deux cléments de contact dont les plans P' et P" sont parallèles à P et les points A' et A" situés sur la normale à P en A, à la même dislance a, mais de côtés opposés. Il est bien clair que si rien ne distingue les deux côtés du plan P, rien ne distinguera non plus les deux éléments A', />' et A",/?*, et l'on ne pourra pas les considérer indépendamment l'un de l'autre. Si, au contraire, l'élément de contact (A, P) a un endroit et un envers, on pourra attribuer un signe à la longueur « et la porter positivement, par exemple, du côté de l'endroit, négativement du côté de l'envers.

Pour plus de clarté, prenons le système particulier de coordonnées pentasphériques défini par les formules (a); notre transformation de contact se décomposera en les deux transformations

x\ = Xi± ax^ ,

37^ = a:-; zp 2 a 3^i — «- ^6 ,

X ^ =r. .rg ,

qui remplacent toute sphère par une sphère concentrique et dont le rayon est augmenté ou diminué de a. [Cf. les formules (T) page Saa en ayant égard à la différence des notations.]

Si l'on applique cette transformation à une surface dont on distingue les deux côtés, on obtiendra deux surfaces différentes, suivant le côté que l'on aura choisi, et chacune de ces deux surfaces aura elle-même un côté. Si l'on |)art, au contraire, d'une surface dont on ne distingue pas les deux côtés, on obtiendra deux surfaces ou, plus exactement, deux nappes formant analytiquement une seule surface, mais chaque nappe ayant un côté.

Par exemple, à une sphère de rayon ± R correspondront deux sphères concentriques de rayons parfaitement déterminés, à savoir : R -+- a et — R -H «. A un point correspond une seule sphère de rayon -ha; à deux éléments opposés du point correspondent deux éléments de contact diamétralement opposés de la sphère, ayant chacun son côté.

Ces remarques permettraient une étude plus approfondie du groupe dont il a été question à la fin du paragraphe IV.

•42. D'autre part, nous avons vu que les droites de l'espace dépendent de quatre paramètres, et qu'on peut les déterminer par six coordonnées homogènes liées par une relation quadratique

cp(a;i, a:,, . . ., x^) = o.

La condition pour que deux droites jk et 5 se rencontrent est

do

et si cette relation est vérifiée, de même que les relations

les droites ayant pour coordonnées Xyi-hiiZi forment un faisceau plan, c'est-à-dire passent par un même point dans un même plan. Nous pouvons dire qu'elles définissent un élément de contact.

Il résulte de ce qui précède que, si l'on s'arrange pour que les formes fondamentales de la sphère et de la droite soient identiques, et si l'on fait correspondre les droites et les sphères de mêmes coordonnées, on aura défini une transformation de contact; car à des droites qui se coupent corl'cspondront des sphères tangentes , et réciproquement ; à une surface considérée comme enveloppe de sphères correspondra une surface enveloppe de droites et réciproquement. Il est d'ailleurs facile de ramener cette transformation de contact à l'un des types considérés au paragraphe précédent.

Équations de la transformation de M. Lie.

-43. Nous devons pourcela chercher le lieu des pointsdes élémentsdecontact qui correspondent aux éléments de contact ayant en commun un point {x,y,z).

Supposons que le point {x,y, z) soit dans l'espace des droites; les droites passant par ce point forment un hyperfaisceau; elles rencontrent, en particulier, toutes les droites issues de ce point A dans un certain plan P. Or, à ce faisceau plan correspondent des sphères S tangentes entre elles en un même point; aux autres droites de l'hyperfaisceau doivent correspondre des sphères tangentes à toutes les sphères S. Or, il est clair qu'une sphère ne peut être tangente à toutes les sphères S que si elle contient l'une des deux génératrices rectilignes qui leur sont communes. Réciproquement, soit S une sphère renfermant une des deux génératrices rectilignes D et Dj communes aux sphères S; il lui correspond une droite qui rencontre toutes les droites du faisceau plan correspondant aux sphères S; c'est donc une droite passant par A ou située dans le plan P.

Une raison évidente de continuité prouve qu'aux sphères 2 renfermant l'une des génératrices, que nous pouvons appeler D, correspondent les droites passant par A et aux sphères S renfermant Dj les droites situées dans le plan P. En résumé, au point A correspond une génératrice rectiligne D d'une sphère, c'est-à-dire une droite isotrope.

Prenons maintenant un point A', (x', y', z'), dans l'espace des sphères; nous pouvons le regarder comme une sphère de rayon nul, c'est-à-dire dont les coordonnées satisfont à la relation

'<miX£ = o;

il lui correspond une droite dont les coordonnées satisfont à la même relation, c'est-à-dire une droite d'un certain complexe linéaire non spécial.

Ainsi notre transformation de contact est nécessairement définie par un système de deux équations

représentant, si l'on regarde x,y, z comme des constantes, une droite isotrope, et, si l'on regarde x' , y', z' comme des constantes, une droite appartenant à un certain complexe linéaire.

M. Lie, dans un Mémoire fondamental, à bien des titres {Math. Anna/en. t. V), a étudié le cas plus général où l'on suppose seulement que les équations (i) représentent toujours une droite, c'est-à-dire sont bilinéaires. Dans le cas particulier qui nous occupe, on voit aisément que, par un choix convenable des notations et des axes, on peut donner aux équations (i) la forme

( X-f-t'Y — Zz — X — o, (2)

Il est d'ailleurs facile de voir que cette transformation a bien la propriété de transformer les droites en sphères; soient

( X = az -~- p, \ y = bz^q,

les équations d'une droite; nous savons qu'on obtient la surface correspondante en éliminant ar, j', z entre les équations (2) et (3), ce qui donne

(X-+- i\ — p) {\ — i\ — b) -^ {'L ^ a ) {Z — q) = 0. c'est-à-dire

\--HY--f-Z- — {b'r-p)\ — i{b— p)Y-\-(a — (/)Z -{- bp — ag = o ,

sphère ayant pour coordonnées

Xi — b -h p, x^ = i{b — p), X3 = a — q, a-4 =±:{a-i-q), X5 = bp — aq,

avec la forme fondamentale

xi -^ xl -\- xl — xl — ix^xs = o.

On pourrait d'ailleurs prendre les mêmes coordonnées pour la droite considérée.

Nous voyons que la transformation définie par les formules (2) est un peu

moins précise que celle dont il était question auparavant, puisqu'elle ne

détermine pas le signe du rayon de la sphère correspondant à une droite

donnée; nous pouvons choisir ce signe arbitrairement, une fois pour taules,

en prenant, par exemple,

Xl, — l\x6 r= a ~{- q.

NlEWENGLOWSKI. — G. an., III. 35

La transformation obtenue offre alors cette particularité remarquable de faire correspondre à un espace non orienté, c'est-à-dire où les éléments de contact n'ont pas de sens, un espace orienté, c'est-à-dire où chaque élément de contact a un endroit et un envers. A cet endroit et à cet envers correspondent deux éléments de contact différents du premier espace.

Considérons deux éléments de contact opposés dans l'espace des sphères ; la seule sphère à laquelle ils appartiennent tous deux est la sphère de rayon nul ayant son centre en leur point; donc la seule droite qui renferme les deux éléments de contact qui leur correspondent est la droite renfermant l'un d'eux et dont les coordonnées vérifient la relation

miXi — o,

c'est-à-dire qui appartient au complexe linéaire fondamental.

On en conclut que les figures qui correspondent à deux figures formées de sphères, deux à deux égales, mais de rayons contraires, sont polaires réciproques par rapport à ce complexe linéaire.

Nous pouvons exprimer ceci de la manière suivante : La transformation de M. Lie transforme la transformation par polaires réciproques, par rapport au complexe linéaire fondamental, en la transformation de contact consistant à remplacer chaque élément de contact par l'élément opposé.

Le cadre restreint de cette Note ne nous permet pas de donner ici des applications de cette belle transformation; nous en indiquons quelques-unes dans les exercices.

VIII. — Transformations dans l'espace à plus de trois dimensions .

4i. Nous allons, dans ce dernier paragraphe, étudier sommairement des transformations dont la nature particulière va être éclaircie par un exemple simple.

Nous avons vu que l'on peut prendre pour éléments de l'espace les sphères ou les droites, c'est-à-dire représenter une surface ou une courbe par une relation entre les coordonnées des sphères ou des droites qui ont avec elle un élément de contact commun, tandis qu'en coordonnées ponctuelles ou langentielles on écrit une ou deux relations entre les coordonnées des points ou des plans qui ont un élément de contact commun avec la courbe ou la surface considérée.

De même, on pourrait regarder les cercles comme éléments du plan et introduire des coordonnées tétracjcliques analogues aux coordonnées pentasphériques. Un point aurait quatre coordonnées et un cercle en aurait cinq. Mais, sans passer par ces coordonnées particulières, il est aisé de montrer

qu'on peut établir une correspondance très simple entre les cercles du plan et les points de l'espace; soient

(x — ay -i- (y — b)- = /•', z — o

les équations d'un cercle; nous lui ferons correspondre le point

X = a, y = b, z = ri.

On peut remarquer que, si l'on change le signe du rayon, le point représentatif est remplacé par son symétrique par rapport au plan des xy. Cette représentation permet d'étudier bien des problèmes sur les cercles, comme l'a montré M. Darboux, si l'on a soin de remarquer que deux cercles sont tangents lorsque la dislance des points qui les représentent est nulle, et réciproquement. D'ailleurs, on peut remarquer que le point qui correspond à un cercle est le centre d'une des deux sphères de rayon nul contenant ce cercle.

On voit de quelle nature particulière est la transformation qui remplace les cercles du plan par les points de l'espace; il est manifeste qu'une transformation de celte nature ne peut être une transformation de contact, car les éléments de contact du plan dépendent de trois paramètres, et ceux de l'espace de cinq paramètres. Aux cercles tangents à une courbe plane, en un point A, correspondent les divers points d'une droite isotrope menée par A dans le plan normal en A à la courbe; les deux droites isotropes se distinguent l'une de l'autre dans le cas où l'on peut distinguer le signe des rayons des cercles, ou, ce qui revient au même, un sens sur la normale. Ces droites isotropes sont les génératrices de la développable (isotrope) circonscrite à la courbe et au cercle de l'infini.

Malgré l'intérêt que présenteraient ces questions, nous allons laisser cet exemple, pour aborder le sujet que nous avons en vue.

Il est d'abord nécessaire de définir succinctement ce qu'on appelle un espace à plus de trois dimensions.

Une lecture, même superficielle, des premiers chapitres d'une Géométrie analytique plane et d'une Géométrie analytique de l'espace, ne peut manquer de frapper l'esprit par un certain nombre d'analogies de raisonnements et de calculs. Si l'on regarde d'un peu plus près, on remarque que bien de ces raisonnements et de ces calculs, qui sont les mêmes pour deux et trois variables, seraient encore les mêmes s'il y avait n variables. Le langage géométrique permettant, d'ailleurs, d'énoncer très simplement des faits analytiques parfois compliqués, on a été conduit à introduire ce langage dans le cas d'un plus grand nombre de variables.

Prenons, par exemple, quatre variables, et, pour plus de netteté, bornonsnous tout d'abord à la considération d'axes rectangulaires. Quatre longueurs X, y, z, t seront dites les coordonnées rectangulaires d'un point ; une équation telle que

\x-^By-hCz-hlit-^E = o

sera dite représenter un plan ; la distance des deux points sera, par définition,

{x - a7')2+ 0' — y )2+ {z — z'f -hit- t'Y,

et l'angle V de deux directions sera donné par la formule cosV = aa'+ pp'+ Yï'~'~ ^^''

en désignant par a, j3, y, o, a', P', y', 3' les cosinus directeurs de ces directions. La distance d'un point à un plan sera

, A^-h Bv-HC^î-f-D^-t-E

/A2-HB2+G2+D2

et ainsi de suite.

Ces définitions étant posées, on verra aisément (si l'on ne le considère comme évident par l'analogie des calculs) qu'elles ne sont pas contradictoires entre elles et permettent de généraliser divers théorèmes de Géométrie : une droite sera normale à un plan si elle est perpendiculaire à trois droites du plan; deux plans seront rectangulaires si chacun d'eux renferme la normale à l'autre ; les équations 37 = 0,^ = 0,^ = 0, t = o représentent quatre plans rectangulaires deux à deux, etc. On pourra, d'ailleurs, définir des coordonnées obliques et tétraédriques sans aucune difficulté.

Notre but n'est pas d'insister sur ces préliminaires évidents et auxquels divers auteurs ont donné plus de développements qu'ils ne paraissent en mériter; nous espérons que ce qui précède suffira pour l'usage que nous avons à faire de l'espace à plus de trois dimensions.

43. Considérons un espace k n — i dimensions et n coordonnées homogènes quelconques (on pourrait les supposer tétraédriques; le lecteur peut les regarder comme rectangulaires si cela lui paraît plus net). Soient k équations linéaires indépendantes

«11 .ri -h,. .+ ai„a?„ = o,

«Al •X'i -h ... -h «Avi ^/J = o ;

nous dirons que ces équations représentent un plan à n — k — i dimensions que nous désignerons par Yn-k-\', d'après cela, dans l'espace ordinaire où /i = 4î un plan est représenté par Pg, une droite par Pj. Si k= n — i, les équations définissent un point unique Pq; enfin, si k^n, les équations n'admettent pas de solutions non toutes nulles, de sorte que n — k — i est négatif, nous sommes amenés à regarder dans ce cas P„;t-i comme symbolisant l'absence de tout point.

Pour faire comprendre les avantages de cette notation, considérons k' autres équations linéaires indépendantes, représentant par suite un plan P„/^.'i ; si elles sont indépendantes des précédentes (ce qui est le cas général) leur ensemble représente un plan Pn-k-k'-i' Nous pouvons donc dire que dans un

espace an — i dimensions V intersection de deux plans P» et Pg est en général un plan Va-^^-{n-i)- H su ffilde prendre a = /i — k — i et p = n — A' — i. Par exemple dans l'espace ordinaire, n — i = 3; l'intersection de deux plans P2 est P2-t-2-3 = Pj) c'est-à-dire une droite; l'intersection de deux plans Pi, c'est-à-dire de deux droites, estPi+j-s = P,, c'est-à-dire, en général, l'absence de tout point.

Considérons une surface du second degré, c'est-à-dire le lieu des points dont les coordonnées satisfont à une équation quadratique homogène

?(^l, ^2, •••, OCn) — O.

Nous disons que la surface n'est pas dégénérée si le discriminant de o n'est pas nul, et alors on peut ramener cp à une somme de n carrés. Nous allons nous borner au cas où n est pair et poser n = im\ nous pourrons alors supposer que l'on a

? = a-,r,„-^,-H X2X,n+,-\-.. .^XmXim.

Il est aisé de voir qu'il y a des plans P/„-i situés tout entiers sur la surface ; ces plans sont analogues aux génératrices rectilignes des quadriques; posons

^ni+ 1 = <^ 1 1 ^1 -I- rt 1 2 ^2 "+~ • • • ~T~ <^ 1 w ^ni )

\ ^irn — ^/nl^l~r- -I- Clinm-^nf

Pour que l'on ait identiquement 9 = 0, en vertu de ces équations, il suffit de poser

an = o, aïk -+- aui = o,

c'est-à-dire de supposer que le déterminant des a est un déterminant symétrique gauche. On n'obtient d'ailleurs pas ainsi tous les plans générateurs P,„j ; une discussion approfondie, dont ce n'est point ici le lieu, montre que ces plans forment deux familles dont les équations (1) représentent une seule; deux plans générateurs d'une même famille ont en commun un plan V m-i-tk ^t deux plans de familles différentes, un plan V,n-ik- D'ailleurs Je cas le plus général est celui où m — ik et jn — 2^ — i sont égaux à zéro ou à moins un, c'est-à-dire où les 'plans Vm-\ ont :un seul point commun ou n'en ont pas; d'où une distinction importante suivant que m est pair ou impair(i). Rappelons que l'espace considéré a im — i dimensions.

(') Je suis en possession de ces résultats depuis 1891; j'en ai publié une partie dans un Mémoire Sur l'équation adjointe, etc. {Annales de l'École Normale, 1892). Le dernier résultat énoncé a pour fondement ce tliéorème d'Algèbre :

Dans un déterminant symétrique gauchele déterminant principal {au sens qu'on attache d'habitude à ce mot dans la théorie des équations linéaires ) est de degré pair.

J'ai démontré ce théorème dans la Revue de Mathématiques spéciales de M. Nicwenglowski (avril 1891).

1° nit^nih: espace à 4/1 — i dimensions; c'est le cas de l'espace ordinaire pour h = i; deux plans générateurs P2/i-i d'un même système ont en commun un plan PgfA— ;i-)-i ! le cas général est^= k; en général ils ne se rencontrent pas; deux plans de systèmes différents, au contraire, ont en commun un plan P^ih-^), c'est-à-dire (pour h = k) au moins unpoint unique.

1° m^= ih-\-\: espace à 4 /' ■+- 1 dimensions ; pour A = i c'est le cas de l'espace à cinq dimensions dont nous nous occuperons tout à l'heure; les conclusions sont opposées : deux plans générateurs d'un même système ont au moins un point commun, et deux plans de systèmes différents n'en ont, en général, aucun. Pour A. = i, on a des plans générateurs P2; deux plans d'un même système ont en commun P2 ou Pq, c'est-à-dire coïncident ou ont un seul point commun; deux plans de systèmes différents ont en commun un plan Pj ou P i, c'est-à-dire ont une droite commune ou ne se coupent pas. Nous établirons directement ces résultats. Les considérations précédentes étaient destinées à montrer qu'ils ne sont qu'en contradiction apparente avec les propriétés connues des génératrices rectilignes des quadriques, et que, si l'on regarde au fond des choses, ils sont la conséquence d'une même loi générale.