Écrivons les équations d'une droite sous la forme

de sorte que les coordonnées homogènes de la droite soient les quantités a7i, 372, 373, 37^, 375, 376, Hécs par la relation fondamentale

cp = 37i 374 -t- 3--2 375 -I- 373 376 = O.

Nous regarderons cette équation comme représentant une surface du second degré dans l'espace à cinq dimensions, de sorte qu'à toute droite correspond un point de cette surface, et réciproquement.

Considérons deux droites 37 et y. Nous savons déjà que pour qu'elles se coupent il est nécessaire et suffisant que, en posant Zi=^\xi-^]j.yi, les z soient les coordonnées d'une droite D. Or, dans l'espace à cinq dimensions,

les équations

Zi = X37/-H \^yi

représentent manifestement la droite d qui joint les points 37 et j^; si les z sont les coordonnées d'une droite D (*), la droite d est située tout entière sur la quadrique fondamentale cp = o. C'est, d'ailleurs, ce que le calcul

(') Pour éviter toute confusion, nous réservons les grandes lettres pour l'espace ordinaire et les petites lettres pour l'espace à cinq dimensions; les coordonnées d'une droite de l'espace ordinaire, étant les coordonnées d'un point de l'espace à cinq dimensions, sont figurées par de petites lettres.

SUR I-tS TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIK. 55 J

montre immédiatement. Donc, pour que deux droites se rencontrent, il est nécessaire et suffisant que la droite qui joint leurs points représentatifs soit située tout entière sur la quadrique fondamentale.

Considérons maintenant toutes les droites D issues d'un point : cliacuuc d'elles coupe toutes les autres; donc les points qui leur correspondent sont tels que les droites d, les joignant deux à deux, sont toutes situées sur la quadrique fondamentale; ces points dépendent de deux paramètres, ils ne sont donc pas tous sur une même droite d. D'après cela, soient a, 6, c trois «l'entre eux, non en ligne droite, et û?la droite 6c; leg droites joignant a aux <livers points de d sont situées tout entières sur la quadrique fondamentale : elles engendrent un plan générateur p^ de cette quadrique. C'est, d'ailleurs, ce qui résulte des équations (i).

On peut encore le prouver ainsi; si x, y, z sont trois droites formant un véritable trièdre, on a

?(a^) = o, cp(7) = o, ç(5) = o,

l'I l'on en conclut

<5(Xa7 -h [ly -H vz) =0,

quels que soient X, fz, v.

Réciproquement, considérons un plan générateur />2 de o; à ses divers points correspondent des droites dépendant de deux paramètres, et telles que chacune d'elles rencontre toutes les autres, c'est-à-dire un hyperfaisceau; mais on peut avoir une gerbe ou un système plan, d'où la distinction des plans générateurs de tp en deux systèmes. Nous nommerons jp/ans générateurs du premier système ceux qui correspondent aux gerbes et plans générateurs du second système ceux qui correspondent aux systèmes plans. II est clair que deux plans du premier système ont un point commun et un seul, à moins qu'ils ne coïncident : car deux gerbes ne coïncidant pas ont une droite commune et une seule. Il en est de même pour deux plans du second système. Au contraire, à deux plans de systèmes différents correspondent une gerbe et un système plan : si le point de la gerbe est dans le plan du système plan, ils ont en commun toutes les droites D passant par ce point dans ce plan, et les plans p^ considérés ont en commun une droite /)i; au contraire, dans le cas général où le point de la gerbe n'est pas dans le plan du système plan, les plans /?2 n'ont aucun point commun.

Il est aisé de vérifier ces résultats par le calcul; les équations (i) représentent les plans générateurs du premier système; nous obtiendrons les équations des plans du second système en écrivant que la droite D(a7i,a:2, ...jXs)

est dans le plan

UX -f- VY -+- \VZ -t- 1 = o.

L'équation générale d'un plan passant par D peut s'écrire

1{X2Z — X3Y — Xf,) -\- [ji(a73X — XiZ — a'5)-f-v(xiY — arjX — a-g) = 0.

On doit donc avoir

( X 27 1^ H- [JL iFs -<- V a"G ) U = V 3^2 {J- CC3 ,

{\xi -+- [xx^ -+- 'iX(,)W = [xxi — Xa?,. On déduit des deux dernières équations

(X.T;, + [Jl.ar5 H- va'6)( Va?6 Wa-j) = ^{x-iXc, -h X<i,X-i) — Xj ('IX^ + \>.X'a)-

Or donc

X ( 373 X(, -4- X.2 a"5 ) = — \X\ X'^\ CkX'^-k- \l.X-^ -\- ^ X q) (\' X (, Wa^g -+- X\) ^ O.

On écartera aisément le cas oîi \x,^-\- [xx^-^ vxq^= o, et l'on aura les relations

[ Wirj— Va7g = Xi,

(2) ', Uxe — W^4 = 3^2,

( \' Xi^ — Ua^s = a7:j,

qui représentent les plans générateurs /)2 du second système. Le système des équations (i) et (2) permet de vérifier analytiquement toutes les propriétés que nous avons démontrées par la Géométrie; on peut aussi vérifier analytiquement que les équations de tout plan générateur JO2 ont l'une des formes (i)ou (2).

Tout ce qui vient d'être dit s'applique aux sphères. On peut faire correspondre à toute sphère un point de la quadrique fondamentale 0:^0; ce point dépend d'ailleurs du signe du rayon. Nous avons vu que, si la relation entre les coordonnées d'une sphère de rayon nul a été mise sous la forme simple

deux sphères concentriques, ayant des rayons égaux et de signes contraires, ont toutes leurs coordonnées égales et de même signe, sauf leurs coordonnées x^, qui sont égales et de signes contraires. On en conclut que, plus généralement, si les coordonnées d'une sphère de rayon nul vérifient la relation

lUyXi -f- ni^iXi -^. . .-\- ni^xç, =0,

qui représente un plan ro; les points représentant deux sphères opposées sont en ligne droite avec le pôle du plan w.

47. Pour indiquer une première application des considérations précédentes, nous allons tout d'abord généraliser un théorème important de la théorie des quadriques (n" 434). L'équation quadratique homogène à six variables,

tp (371,372, ...,3-6) = O,

renforme vingt et un coefficients; la quadrique Q^ qu'elle représente est donc définie en général par vingt points. D'autre part, d'après le théorème de Bézout, cinq quadriques Q4 ont en général 2^ = 32 points communs. Le théorème dont il s'agit est le suivant :

Toutes les quadriques Q^ passant par seize points ont, en général, en commun seize autres points.

En effet, supposons les seize points choisis de telle manière que les seize équations linéaires, que l'on obtient en écrivant que leurs coordonnées vérifient l'équation cp = o, soient indépendantes. L'équation générale des quadriques passant par les seize points sera alors de la forme

XiÇi ■+- Xjicp, -I- X3Ç3 -f- X^Çi -f- X5Ç; = o

et ces quadriques ont manifestement en communies trente-deux points communs aux cinq quadriques

Considérons maintenant deux groupes de cinq plans, dont nous écrirons les équations

Al =0, Bj = o,

Ao = o, B2 = o,

Ai = o, B-, = o,

et appelons décaèdre la figure formée par les trente-deux points que l'on obtient en prenant le point commun à cinq plans quelconques d'indices différents, ou, ce qui revient au même, en prenant de toutes les manières possibles un plan sur chaque ligne; nous supposerons qu'on obtient bien ainsi trente-deux points distincts.

Dans le cas où les deux plans de même indice sont parallèles, ce décaèdre est une généralisation du parallélépipède. Nous dirons que seize de ces trente-deux points sont convenablement choisis si les équations qu'on obtient en exprimant qu'une quadrique passe par ces seize points sont indépendantes.

Il est manifestement nécessaire pour cela qu'il n'y ait pas plus de onze de ces seize points dans chacun des plans donnés, et, par suite, qu'il y en ait au moins cinq dans chacun d'eux, puisque chaque point est «itiié, par exemple, ou dans le plan Aj = o, ou dans le plan B, = o.

Nous laisserons à nos lecteurs le soin de rechercher si cette condition est suffisante; en prenant

A,- = Ti — xz , Bj = Xi -t- x^,

on constate aisément que, pour que seize points soient convenablement

choisis, il est nécessaire et suffisant qu'un certain déterminant du seizième ordre, aisé à former et dont les éléments sont égaux à ± i, soit différent de zéro.

Or, par seize sommets quelconques d'un décaèdre passent les cinq quadriques

AiBi = o, AoB2 = o, ..., A5B5 = o,

qui ont en commun les seize autres sommets. Donc, si une quadrique passe par seize sommets convenablement choisis d'un décaèdre, elle passe par les seize autres.

Regardons maintenant x^, x-2, . . ., x^ comme les coordonnées d'une sphère ou d'une droite; une relation

Al = «1371-+- a-ix^ -+■ a^x-i -4- ar^x^ -f- «3.^5 -+■ a^x^ = o

exprime que la droite appartient à un certain complexe linéaire Ai, ou que la sphère coupe une certaine sphère Ai sous un angle constant «i. Si cinq équations

Al = o. A, = o, ..., As = 0

ont une solution commune satisfaisant à l'équation cp = o, cela veut dire que les cinq complexes linéaires Ai, A2, ..., A5 ont une droite commune, ou qu'il existe une sphère S coupant les cinq sphères Ai, A2, . .., As sous les angles ai, a^, .. ., ag.

Ceci posé, donnons-nous deux systèmes de cinq complexes linéaires, Al, A2, . . . , As, Bi, . . . , Bs, ou deux systèmes de cinq sphères Ai, Aj, . . . , A5, Bi, . . . , Bs auxquels correspondent deux systèmes de cinq angles «i, . . . , as, Pi, ..., Ps, nous avons les théorèmes suivants, en désignant par G une lettre qui peut être A ou B, et par y une lettre qui peut être a ou p.

Si parmi les trente-deux systèmes de cinq complexes linéaires C|, C2, •.., G5, seize convenablement choisis ont une droite commune, il en est de même des seize autres.

S'il existe seize sphères coupant respectivement seize des trente-deux systèmes de cinq sphères Gj, G2, ..., C5, sous les angles yi, Y2) •••, Ys> i' ^" existe seize autres pour les seize autres systèmes.

Il est bon de remarquer que les angles ai, a2, . . .,^5 sont supposés différents de zéro, car à deux sphères tangentes correspondent deux points de ç situés dans un même plan générateur; on voit alors que les plans A et B seraient tangents à cp, ce qui modifie la question. Mais on peut supposer ces angles égaux à tt, ce qui donne des sphères effectivement tangentes, mais qu'on ne doit pas regarder comme telles en coordonnées pentasphériques.

48. Une application plus importante est relative à l'étude du groupe Ç (n°* 32, 33). On est amené à rechercher les transformations homographiques à six variables qui laissent invariante l'équation 9 = 0, c'est-à-dire trans-

forment en elle-même la quadrique fondamentale. Or (ceci est vrai quelque soit le nombre de dimensions) une transformation homographique qui transforme une quadrique en elle-même remplace évidemment les plans générateurs par des plans générateurs. Donc, s'il y a deux systèmes de tels plans, deux cas sont possibles : les plans générateurs de l'un des systèmes sont remplacés par les plans générateurs du même système ou par ceux de l'autre système; ces deux cas correspondent respectivement aux transformations homographiques et corrélatives. Dans le cas où la forme «p est réduite à une somme de carrés Sa??, on voit aisément que ce sont les transformations orthogonales de déterminant -f- 1 qui conservent les systèmes de plans générateurs, et celles de déterminant — i qui les échangent; on comparera utilement ces indications avec l'Exercice 13.

EXERCICES

1. Étant donnés quatre points définis par une équation de la forme

(i) «o^^i ■+• \aix\Xi-\- Çia^x^xl -\- ^aiXiXl-\- a!,x\ = o,

démontrer que les six valeurs du rapport anharmonique des quatre points sont données par l'équation

^' (l+p)2(2 py2(,p)2 - T2'

en posant

En conclure que le rapport =q est un invariant absolu de la forme binaire (i), c'est-à-dire conserve exactement la même valeur quand on effectue sur (i) une transformation homographique (page 486).

2. Déterminer les sous-groupes de G (n" 10) qui laissent invariants une droite donnée et un point donné non situé sur cette droite (transformations homologiques). Cas où la droite est à l'infini (transformations homothétiques). Cas où le point est situé sur la droite.

3. On dit qu'une équation est invariante par les transformations d'un groupe lorsque celles-ci reproduisent son premier membre à un facteur près, en général différent de zéro.

D'après cela, démontrer analytiquement et géométriquement que l'équation différentielle la plus simple, invariante par les transformations de G (n" 10) (écrites en coordonnées non homogènes), est l'équation différentielle des droites

aa = X2-I- [x2 v2 p2^

aô :

= 2(Xv + lip),

aa'= — 2(Xv — [jLp),

aft':

= X2H-p2— [Jl2

cra"= 2(Xp -F- |jiv),

CTC' :

= 2(vp — X[a),

Vient ensuite l'équation différentielle des coniques

4. Montrer que les coefficients des transformations du groupe des mouvements dans l'espace peuvent s'exprimer au moyen de quatre variables par les formules homogènes et de degré zéro, dues à Olinde Rodrigues,