TC = — 2(^? — H
[Jl2 v2, ac'=: 2(X[Jl, vp),
(7C"= X2-4-V?— pL2 p2^
où l'on a posé
a = X2+ [Jl2 4-v2+p2.
Relations entre les variables d'Olinde Rodrigues et les angles d'Euler.
5. Rechercher, en employant la méthode indiquée au n" 16, toutes les transformations homographiques réelles, telles qu'en les répétant m fois on obtienne la transformation identique.
6. Étudier le groupe des mouvements qui transforment en lui-même un icosaèdre régulier, en indiquant les relations qu'il y a entre ses diverses transformations.
On désignera, par exemple, par S une rotation de ~ autour d'un diamètre
joignant deux sommets opposés de l'icosaèdre A et A', et par T la même rotation autour du diamètre BB', AB étant une arête de l'icosaèdre, et l'on prouvera que tous les mouvements possibles s'obtiennent en combinant les transformations S et T. On pourra ainsi former, au moyen de S et T, les soixante transformations distinctes du groupe de l'icosaèdre. Leur nombre est soixante, car on peut faire coïncider l'icosaèdre avec lui-même de soixante manières différentes, puisqu'un sommet déterminé peut occuper douze positions différentes, et, lorsque ce sommet est fixé, l'icosaèdre peut encore avoir cinq positions distinctes autour de ce sommet.
7. Démontrer que dans une transformation ponctuelle quelconque, M et M' étant deux points correspondants, il existe en général deux droites rectangulaires passant en M, auxquelles correspondent deux courbes orthogonales passant en M'. S'il en existe plus de deux, il en existe une infinité, et deux courbes quelconques passant en M sont transformées en deux courbes se coupant sous le même angle en M'.
Même énoncé dans l'espace en remplaçant deux droites rectangulaires par un trièdre trirectangle.
Cas de la transformation homographique : Démontrer que, dans toute transformation homographique, un certain système de coniques (ou de quadriques) homofocales est transformé en un système de même nature et en conclure immédiatement quelles directions rectangulaires sont transformées en directions rectangulaires.
SUR LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE. oSy
8. Reciierchcr les coordonnées pentasphériques des points situes dans le plan de l'infini et des points du cercle imaginaire à l'infini.
9. Trouver les sphères tangentes à quatre sphères données; montrer que, si l'on tient compte des signes des rayons, le problème revient à trouver les droites rencontrant quatre droites et admet deux solutions ou une infinité. ÎVombre total des solutions lorsqu'on donne aux signes des rayons toutes les valeurs possibles.
10. Démontrer que, si l'on considère toutes les sphères S tangentes à trois sphères données, il existe une infinité de sphères S' tangentes à toutes les sphères S. Enveloppe des sphères S et S'. Lieux de leurs centres.
11. On considère un tétraèdre et l'on remarque un point sur chacune de ses arêtes. Par chacun des sommets du tétraèdre et les trois points situés sur les arêtes aboutissant à ce sommet, on fait passer une sphère. Démontrer que les quatre sphères ainsi obtenues ont un point commun.
12. Trouver la condition pour qu'une droite soit tangente à une quadrique. Soit
cette condition. Montrer que les relations
o = o, «a -t- i ^ -}- cy := o entraînent
do do do do do dtf
da dx db d'^ de d-(
On peut remplacer la relation 0 = 0 par la relation >\i = o, en posant
t|i = ç-r-K(aa-4-6 3-i-CY),
et choisir convenablement la constante K de manière que la relation
aa-i-6^-(-CY = o entraîne
d'\> d^ d-b di» d<\i d'\> da d% db d'^ de d^(
c'est-à-dire que ai = -^ , 3, = -J , . . . , c = — soient les coordonnées d'une
^ da db yy
droite Dj lorsque a, b, . . ., y sont les coordonnées d'une droite D. Quelle relation géométrique y a-t-il entre ces deux droites et la quadrique?
13. Rechercher les transformations de contact dans le plan; on trouvera des transformations analogues aux transformations de la première classe dans l'espace.
IL On fait correspondre les cercles du plan aux points de l'espace, comme il a été expliqué page 547, ^^ ^'^^ considère les coordonnées pentasphériques
du point comme étant les coordonnées du cercle. Démontrer que le groupe G des transformations homographiques, défini page 5io, est alors dans le plan l'analogue du groupe défini dans l'espace par les formules (T) (page 522). On pourra donner une démonstration analytique ou bien une démonstration géométrique s'appuyant sur les remarques suivantes ; quand on établit la correspondance indiquée entre les points de l'espace et les cercles du plan, à tout mouvement, homothétie ou inversion de l'espace laissant invariable le plan des x, y., correspond pour les cercles du plan une transformation de même nature et, à une translation parallèle k O z, correspond dans le plan la transformation de contact qui augmente les rayons des cercles d'une quantité constante.
