Résolution de l'inégalité A.x + Bj- -f-Cs-f-D^o ou <Co

— Posons P = Ax -}- By -h C z ^D ; Pq = A^o + Bj'o + C5o+D. Nous dirons que le pol^'nome P prend la valeur Po au point M ayant pour coordonnées Xq, y^, z^. Si l'on suppose, par exemple, C ^z^ o, la parallèle à l'axe des z menée par M rencontre le plan P ayant pour équation P = o en un point R(^05 J'o? -^i) 6t le P^^^^ -^0/ au point Q{x,), y^, o). On a

D'autre part, RM= QM — QR = ."o — ^, , donc Po = C xRM; par conséquent, Pq a le signe du segment RM si C >> o, le signe de

— RM si C<o.

Le plan P partage l'espace en deux régions ; il est évident que, si le segment RM est positif, il en sera de même pour tous les points situés du même côté que M par rapport au plan, et nous appellerons la région qui contient tous ces points la région des z positifs; l'autre région sera celle des z négatifs. On voit par ce qui précède que le polynôme P prend un signe déterminé dans l'une de ces régions et le signe contraire dans l'autre.

Nous appellerons région positive celle dans laquelle le polynôme P est positif, et région négative celle dans laquelle P est négatif. Si

PLAN ET IJGNK DROITK. 45

C > o, la région positive est celle des z positifs ; si C < o, c'est celle des z négatifs.

Pareillement, si A > o, la région positive est encore celle des x positifs, et si B>» o, c'est aussi celle des y positifs.

Lorsque le coefficient D est différent de zéro, on peut remarquer aussi qu'à l'origine le polynôme P a le signe de D; donc si D > o, la région positive est celle qui comprend l'origine, et, si D <! o, c'est au contraire celle qui ne la comprend pas.

51. Application. — Prenons sur la demi-perpendiculaire ON (y?^. 19) au plan P, menée par l'origine, un point M (^,, jK(, ^i), et soit / la valeur absolue du segment OM; si l'on appelle a, [3, y les angles de OM avec Ox, Oj, Oz, on sait que

X, cosa -t-^i cos^ -^ Zi cosY = l;

donc, en conservant les notations du n° 48, on trouve, en vertu des équations (4),

11 en résulte que, si la longueur l est suffisamment grande, P, a le signe de s. Par conséquent, si e = H- i , un point M, pris sur ON à une distance suffisamment grande de l'origine, est dans la région positive du plan P; si s = — i, il est dans la région négative. A cause de ce résultat, nous appellerons demi-normale positive du plan P celle qui correspond à £ = -t- i , et demi-normale négative celle qui correspond à £ = — I .