RR
La formule comporte un double signe, parce que, sur chacune des deux droites («, ^, c) et («', b\ c'), on peut choisir à volonté une demi-droite ou la demi-droite opposée ; V peut donc designer, par exemple, l'angle AOA' ou son égal BOB' (y?^. 8), ou bien l'un des
angles AOB', BOA'; or les angles AOA' et BOA' sont supplémentaires.
Condition d' orthogonalité. — Pour exprimer que les deux droites AB, A'B' sont orthogonales, il suffit d'exprimer que l'un quelconque des angles que nous venons de considérer est droit : la condition demandée est donc
ad -\- bb' -T- ce = o.
Calcul de sin V.
sin^V =
— On trouve
{bc — cb'Y+{ca'— ac'y^-h(ab'~- ba'Y (a2+ b-^-{- c^){a'-^-\-b'-^-h c'2)
14. Applications. — i" Soient deux points M(x, y, z), M'(x', y', z'}; et soient P et P' leurs projections sur le plan .rO/". La condition pour que l'angle MOM' soit droit est
(i) ccx'-i-jyy -\- zz' — o.
La condition pour que l'angle POP' soit aussi droit étant
(■i) xx'^yy'^o,
pour que ces deux équations soient vérifiées simultanément, il faut et il suffit que
On en conclut que la condition nécessai/'e et suffisante pour quun p- angle droit se projette orthogonalement suivant
un angle droit est que le plan de projection soit parallèle à l'un de ses côtés.
•1° Considérons (y?^. g) un triangle sphérique ABC; rapportons la sphère sur laquelle est tracé ce triangle à trois axes rectangulaires, l'axe Oz étant le rayon OA, et l'axe Ox étant dans le plan du cercle AB et dirigé du côté où se trouve le sommet B par rapport à OA, enfin l'axe Oy étant dirigé par rapport au plan zOx du côté où se trouve le sommet G. Cela étant, les coordonnées de B sont, le rayon de la sphère étant pris pour unité,
X = sine, y =: o. ^ = cosc,
et les coordonnées de C
j;' = sinô cosA, j' = sin 6 sin A, ^'=cos6;
cosa = cos6 cosc -1- sinô sine cos A ;
c'est la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique.
IJr.i xii.MF. CVS. — Axes oblù/ues.
15. Nous allons reprendre les mêmes questions avec des axes obliques. Nous désignerons par X, [jl, v les angles yOz-^ zOx^ xOy ( fig. lo). Soient a, [3, v les angles qu'une demi-droilc OA fait avec les axes Oj*, Oy^ Oz respectivement; .r, r, :; les coordonnées d'un point M pris sur cette demi-droite, et / la longueur absolue OM. Si nous projetons le contour des coordonnées OPQM cl sa résultante OM successivement sur les trois axes et sur OA, nous obtiendrons les quatre équations suivantes :
Ci)
X cosv -+■ y
X cos[a. -f- J' cos)>
•3 cos \j. = l cosa, z cosX = / cos^,
;; =: / COS y,
X COS % -+- y cos "^ -\- z cos y = /.
Les quatre quantités x , y., z, l non nulles toutes les quatre, puisque le point M est supposé différent de l'origine, étant liées linéairement, le déterminant de leurs coefficients est nul, c'est-à-dire
I cosv cos'j. cosa
cosv I cosX cos^
cosu cosX I cos Y
cosa cos^ cos Y i
Telle est la relation entre les cosinus directeurs d'une demi-droite dans le cas général.
Remarque. — L'équation (4) conserve la même forme quand les axes sont rectangulaires ou obliques.
16. Expression du carré de la dislance du poinX. M(.r, j', z^ à V origine. — En multipliant les deux membres des équations (i), (>.), (3) et (/j) respectivement par .r,;^, ^> ^ et ajoutant, on obtient
a;2-i-j-2-f- c2) .yy- cosX -4- izx cosjji + 'ixy cosv = f-.
On obtient immédiatement celte formule en parlant, comme clans le cas <K?s axes rectangulaires, de l'équation vectorielle
fi 'où
li—(^x-\- y -\- zy= 'Zx^-\- l'^.yz cos(y, z). 17. Posons
x^-\- y--^ -^+ "^y^ cosX -\- izx cos|jL -\- ixy cosv = <^{x, y^ z);
il est évident que cette fonction est positive pour toutes les valeurs réelles non toutes les trois nulles attribuées à x, y, z. D'ailleurs
•\i{x,y,z)^=(x-Jry cosv-i-^ cos[i.)2-4- (y sinv-4-z sin jxcosA)- -f-^- sin^ jx sin^A,
A désignant le dièdre y O^r^.
La fonction 'hÇx, y, z) ne peut être nulle que si x =y = z = o, quand x,y^ z sont réels.
Si l'on désigne par -]>,, d/o, 'i's les demi-dérivées de 'b par rapport à x,y, z respectivement, on voit que les équations (i), (2), (3) peuvent se mettre sous la forme
(l;,= /C0Sa, •b.2—lcOS^, >\l3=l COS'[.
Le discriminant de la forme 'b(x.y, z) est le déterminant
I cosv cas IX cosv I cosX cos[z cosX I
Ce déterminant est positif et moindre que i. En effet, on trouve, en le développant,
I — cos^A — cos- ;ji — cos^v -;- 2 cosX cos ;jt cosv = I — cos^pi — cos^v -f- cos^fji cos-v — (cosX — COSJJt. cosv)2 = sin2 [jL sin^v — (cosX — cos (i. cos v)^.
Si l'on désigne, comme plus haut, par A le dièdre yOxz^ cette expression peut s'écrire
sin^ jjt. sin^ V — sin^ [ji sin^p cos^ A
ou enfin
sin^jj. sin^v sin^ A.
On peut donc désigner ce déterminant par co-, et nous poserons (0 = sin [JL sin V sin A. On voit que to2< i. D'ailleurs oj a une signification géométrique simple. Considérons, en effet, le parallélépipède construit sur trois arêtes OA = a, OB = ^, OC == c, dirigées sui-
COORDONNÉES. l5
vant les axes, et soit V son volume. Si l'on nomme y l'angle qu'une perpendiculaire au plan xOy fait avec Oz, on peut prendre pour hauteur la distance du sommet G au plan xOy^ cette liauteur a pour mesure ccosy; la base a pour mesure «ôsinv et, par suite,
V = abc sinv cosy-
Les cosinus directeurs de la hauteur étant 0,0, cosy, on a
1 COSV COSIJL
cosv I cosX
COS[Jl cosX I
o o cosy
