R ~ IV
Q désignant le polynôme A'^r + B'y + 0'^+ D' et R' désignant y/F (A', B', C) si les axes sont obliques, v/A'^+ B'^-j- G'- s'ils sont rectangulaires.
54. Conditions pour que deux plans soient parallèles. — Pour que deux plans, ayant respectivement pour équations
Aa? 4- BjK-(- Gs -+- D = o, AV -f- B'jK-1- G'j -H D' = o
soient parallèles, il faut et il suffit que les perpendiculaires à ces plans, menées par l'origine, soient parallèles; or, les cosinus directeurs de ces droites sont respectivement proportionnels à A, B, G et à A', B', G'; les conditions demandées sont donc
On peut encore remarquer que les plans parallèles respectivement aux plans donnés et menés par l'origine, ont pour équations
kx -^-By -\- QiZ — o, k' X -\-B'y -\- C z = o.
Ces plans doivent coïncider, si l'on veut que les plans donnés soient parallèles.
et
PLAN ET LIGNE DROITE. Ùq
55. Application. — Les inlcrseclions de deux plans parallèles par un troisième sont des droites parallèles. On peut le vérifier en prenant le plan sécant pour plan des a?, y. Dans ce plan, les traces des plans ont pour équations
Aa? + Bj -+- D^ = o, A'a7 -h B'j' -4- D'^ = o,
ce sont des droites parallèles, puisque les coefficients de ces équations sont proportionnels par hypothèse.
Réciproquement, si en coupant deux plans par deux autres plans non parallèles, on obtient dans chaque cas des intersections parallèles, les deux plans donnés sont parallèles.
Supposons, en effet, que les deux plans sécants soient le plan xOy et le plan yO z; on suppose
donc
56. Equation générale des plans parallèles à un plan donné. — Si le plan donné a pour équation P := o, l'équation cherchée est P + A=: o, \ désignant un paramètre arbitraire.
57. Equation du plan passant par un point et parallèle à un plan. — Soient x' , y' , ::! les coordonnées du point donné et A.r 4- BjK + C:; +D = o l'équation du plan donné; l'équation cherchée est de la forme Kx + Bj^ + G :; + )v = o ; on détermine X par la condition que cette équation soit vérifiée pour x =^ x' .^ y ■= y' ^ ;; = c'; on obtient ainsi l'équation
Angle de deux plans {axes rectangulaires).
58. Soient Ao: + BjK + C 3 + D = o, A'x + B'j -h C'^ + D'= o les équations de deux plans. L'angle V des normales à ces plans est donné par la formule
, AA'-i-BB' + GG' COSV = ££ ^, ,
R =+y/Â2-+-B2-HG2, R'= + v/A'*-hB'2-i-G'».
48 CllAIMTRR m.
Si £ = s', V désigne l'angle de deux demi-normales de même signe ^ si £ = — e', c'est l'angle de deux demi-normales de signes contraires.
Condition d'ortliogonalité : AA'-i- BB'-h CC == o. Axes obliques. — Quand les axes sont obliques
cosV = -
dF
dF
et la condition d'orthogonalilé est
.,dF ^.dF^^,dF ^ ^-"^ c)B-^^ JC="-
59. Équation du plan passant par trois points Mj, M^, M3. — Gette équation est évidemment
Xi jKi -I I
Xî y. .-, 1
On voit que le coefficient de x ne peut être nul que si les projections des
trois points sur le plan j'Oz sont en ligne droite, les projections étant faites
parallèlement à Oa?; remarque analogue pour les coefficients A^ y ou de z.
Donc cette équation est bien du premier degré si les trois points donnés ne
sont pas en ligne droite. Si, au contraire, ces trois points sont en ligne
, . a^i + X.r, ri-t-Xva -Si + ^^-o droite, on peut remplacer x-^, j'3, ;;3 par — ■ -, ~ .^- , r — ;
alors, en multipliant les éléments de la dernière ligne du déterminant par i-t-X, on voit que ce déterminant est identiquement nul. Dans ce cas, le plan n'est pas déterminé.
60. Condition pour que quatre points Mi ^ Mg, M3, M4 soient dans un même plan. — La condition demandée est
Xi jKi -1 1
x^ y^ Zz 1
■^3 JK3 -^3 1
61. Equation du plan coupant les axes en des points donnés. - Soient A(a, o, o), B(o, 6, o), C(o, o, c) les traces d'un plan
sur les trois axes; l'équalion de ce plan est
abc
SI «, b^ c grandissent indéfiniment, le plan ABC disparaît à l'infini.
Mais, avec des coordonnées homogènes, l'équation du plan ABC est
abc
Donc, si - = j- = - = o, le premier membre de cette équation se réduit à — t. Or, l'équation d'un plan quelconque étant de la
forme
kx-\-'Ry-\-Q.z-^Y)t = o,
nous conviendrons de dire que l'équalion i = o, étant du premier degré, représente un plan; d'autre part, si un point M a pour coordonnées homogènes x,y, z, f, la condition ^ = o exprime que le point M est à l'infini. Nous dirons donc, en vertu de la convention que nous venons de faire, que tous les points à l'infini sont dans un même ip\anjictif, nommé plan de l infini.
62. Équation générale des plans passant par V intersection de deux plans donnés. — Soient P = o, Q ^ o les équations des deux plans donnés. L'équation demandée est
(i) aP4-pQ = o.
En effet, cette équation représente, quelles que soient les valeurs de a et ^, un plan passant par l'intersection des plans donnés et si x\ y\ z' sont les coordonnées d'un point pris dans l'un quelconque R des plans passant par cette intersection, l'équation
(2) PQ'QP' = 0
représente un plan qui coïncide avec R; donc, en donnant à a et ^ des valeurs convenables, l'équation (i) représente tel plan, passant par rintersection des plans donnés, que l'on veut. On peut remplacer l'équation (i) par l'équation
P-hXQ =0.
NiEWENQLOWSKI. — G. an., III. 4
5o CHAPITRE III.
Remarque. — Si P = o, Q ^ o représentent deux plans parallèles, l'équation (i) représente tous les plans parallèles au plan P.
63. Application. — Mener par une droite un plan perpendiculaire à un plan donné. — Soient
kx -^-^ y -\- ClZ = 0 l'équation du plan donné et
les équations de la droite donnée. Un plan passant par cette droite a pour équation
ce plan est perpendiculaire au premier si
A( A'-4- XA") -+- B(B'-4- XB") 4- G(G'-+- XG") = o.
64. Equation du plan passant par un point et par V intersection de deux plans. — L'équation (2) résout la question.
Application. — L'équation
(AD' — DA')^+(BD'— DB')7+(GD'— DG') z = o
représente le plan passant par l'origine et par l'intersection des pians ayant respectivement pour équations
kx -+- Yiy -t- G; -f- D = o. k' X -^ B'r -+- G'ô -h D' = o.
