Intersection de trois plans. — Soient
Aa? -h B/ -i- G - -4- D = o,
les équations de trois plans. Appelons A le déterminant des coefficients des coordonnées.
Premier cas .• A ^o. — Les équations ont une solution unique : les trois plans ont un point commun à distance finie; ils forment un ttièdre.
Deuxième cas:ÙL = o. — L'un des mineurs du second degré, par exemple AB' — BA'^o. Soit A, le caractéristique correspon-
PLAN KT LIGNE DROITE. 5l
danl, c"csl-ù-dire
(a) A, ^o. — Les deux premiers plans se coupent et le Iroisième est parallèle à leur intersection (il peut être à l'infini). Dans ce cas, les trois plans n'ont aucun point commun; ils forment une surface prismatique, ce qui revient à dire qu'ils sont parallèles à une même droite. On peut dire, dans ce cas, qu'ils ont un point commun à l'infini.
(b) A, = o. — Le troisième plan passe par l'intersection des deux premiers; en d'autres termes, les trois plans ont une droite commune.
Troisième cas. — Les mineurs du second degré de A sont tous nuls : les trois plans sont parallèles; mais un des coefficients de x, y ou z, par exemple A ^ o.
Il j a, dans ce cas, deux caractéristiques à considérer.
(rt) L'un au moins des déterminants AD' — DA' ou AD' — DA^^z^o. Les trois plans sont parallèles et non confondus. Ils ont une droite commune à l'infini. L'un d'eux peut être à l'infini.
{b) AD'-DA' = o, AD"-DA" = o. —Les trois plans sont confondus. L'un des plans peut être indéterminé.
Quatrième cas. — Les coefficients des coordonnées sont tous nuls. Dans ce cas limite, les plans sont à l'infini, ou l'un d'eux, ou deux d'entre eux, ou même tous les trois peuvent être indéterminés.
66. Conditions pour que trois plans aient une droite commune. — Ces conditions résultent de la discussion précédente, mais on peut traiter la question d'une autre manière très commode à appliquer. En effet, pour que P=:o, Q=:o,R = o représentent trois plans ayant une droite commune, il faut et il suffit qu'il existe des constantes a, ^, y non nulles et telles que
En effet, si le plan U [)assc par l'intersection des plans P, Q, on
52 • CUAPITIJE m.
peut déterminer a et ^ tels que l'équation aP + jj Q ^ o représente le plan R : donc il y a une constante — y, telle que
— YRE=aP-i-pQ.
Réciproquement, si l'identité précédente est vérifiée, le plan R passe par l'intersection des plans P, Q.
Il convient de remarquer que si l'une des constantes, a par exemple, était nulle, l'identité [3 Q + yR^ o ou [3Q ^ — yR exprimerait que les deux plans Q, R sont confondus.
Il importe encore de remarquer que la droite commune aux plans P, Q, R peut être à l'infini.
Les conditions A ^ o, A, ^ o conduisent d'ailleurs à la même proposition.
67. Application. — Considérons un trièdre Oxyz; les équations
^ + JKcosv-t-5 cosfji. = 0, X cos^i -\- y -{- z cosX = o
représentent la perpendiculaire au plan xOy menée par l'origine; en éliminant z, on obtient
a7(cosA — cos [j. cosv) — y (cosix — cosX cosv ) =o.
CCS A cosB
sin]
Celte équation représente le plan mené par O^ et perpendiculaire au plan xOy't de môme les plans menés par chacune des deux autres arêtes et perpendiculaires à la face opposée, ont pour équations
cos B cosC
sinfji. sinv
cosC cos A
sinv sinA
La somme des premiers membres de ces trois équations étant nulle, les trois plans se coupent; la ligne d'intersection commune est définie par les équations
a^cosA jKcosB ^cosC sinX sinjj. , sinv
On retrouve ainsi une propriété, bien connue, des trièdres.
68. Remarque. — Pour exprimer que trois plans sont parallèles à une même droite, il suffit d'exprimer que les plans parallèles respectivement aux
plans donnés el menés par l'origine des coordonnées ont une droite commune, ce qui revient à dire que les équations
Xx -hBy-hCz = o, A'a^-+-B>-f-G's=o, A"x -^ By -h C z =o
ont des solutions autres que zéro. La condition est donc A =o.
