Exprimer que quatre plans ont un point commun
Soient
P, = A^ -1- B^ -hCz -i-Dt = o,
p-i =z A'x -+■ ny -+- c'z -f- D't = o,
P3 = A":r -+- B> + C"z -hï)"t= o,
\\ = A"'cc-^ ny + c"'z -+- D"'t = o
les équations des quatre plans donnés. Pour que ces plans aient un point commun à distance finie ou infinie, il faut et il suffit que les équations précédentes aient une solution autre que zéro. Donc la condition est que le déterminant des coefficients de x,y, z^ t soit nul. Si l'on veut que les plans aient un point commun à distance finie, il faut en outre que Fun au moins des mineurs formés avec les coefficients de :r, jk, z soit différent de zéro.
Dire que le déterminant complet est nul, c'est dire qu'il existe des nombres a, |^, v, 3 non tous nuls et tels que
aPi+!3P2-^YP3-t-oP4==o.
Si l'un des coefficients, par exemple y, est nul, les plans Pj , Pg, P4 ont une droite commune, comme nous l'avons vu.
70. Etant donnés quatre polynômes distincts P, , Po, P3, P.,, l'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la forme
aP, -H^Pî-f-cPs-i-i^Pi = 0.
On peut, en effet, déterminer a, b, c, d de façon que ux + vy-^wz-hrt^aPi -h bP2-i- cP^ -^ dP^.
En égalant les coefficients des mêmes variables on obtient, pour déterminer a, b, c, d, quatre équations linéaires dont le déterminant est différent de zéro, par hypothèse.
En particulier, ÀP, + ^P., -i- v P;, = o est l'équation générale des plans menés par le point commun aux trois plans P,, P^, P,!-
Coordonnées tétraédriques.
71. Supposons que P, =o, 1*2 = 0) r*3 = o, P/, = o soient les équations des quatre faces d'un tétraèdre. A tout point {x,y^ z, t) correspond un système de valeurs proportionnelles de P(, P2, P3, P4, et réciproquement, si Pi, P2, P3, P/, sont proportionnels à des nombres donnés; x,y^ z, t sont aussi proportionnels à des nombres déterminés. On peut donc dire que le point {£C,y, z, t) a pour coordonnées tétraédriques P,, P2, P3, P.,.
En appelant a, ^, y, 8 les distances d'un point M aux quatre faces du tétraèdre, on voit, comme en Géométrie plane, que les fonctions linéaires P,, Pg, P3, P/, des coordonnées de M sont égales à la, a[i^ vy, où] X, a., V, p étant des constantes arbitraires : si ). = [x := v = p, on a ce qu'on appelle les coordonnées tétraédriques normales. Si l'on nomme «, b, c, d les aires des faces du tétraèdre ABCD, il y a entre a, p, y, S une relation
aa+ip-i-cv + o^ô = 3V,
V étant le volume du tétraèdre; cette relation est générale si l'on attribue à a, p, y, 0 des signes convenables, cboisissant le signe -h pour tout point à l'intérieur du tétraèdre, ce signe changeant pour a, par exemple, quand le point M traverse le plan BCD, dont l'équation est a = o. Le plan de l'infini a pour équation
a% -\- b*^ -\- c^ -^ do = 0.
Plus généralement on peut supposer que P,, P2, P3, P^ désignent quatre polynômes homogènes distincts à coefficients réels ou imaginaires.
Expression du volume d'un tétraèdre en fonction des coordonnées
de ses sommets.
72. La méthode que nous allons suivre, comme celle relative à l'aire d'un triangle en Géométrie plane, est due à E. Lucas.
Considérons un tétraèdre ayant pour sommets les points A, B, C, D^ nous représenterons par le symbole ABCD la mesure du volume de ce tétraèdre, affectée du signe H- ou du signe — , conformément à la convention suivante.
Si un observateur placé les pieds en A, la tête en B, regarde le segment CD, il peut arriver que G soit à sa gauche et D à sa droite ou inversement (en admettant, bien entendu, que AB et CD ne soient pas dans un même plan). Dans le premier cas, on vérifie aisément qu'un observateur ayant les pieds en C et la lôte en D, et regardant AB, verra A à sa gauche et B à sa droite, et cela sera le contraire dans le second cas. Nous dirons pour abréger, dans le premier cas, que le segment CD est direct par rapport à AB el, dans le second cas, que CD est inverse. Cela étant, ABCD est ailecté du signe -\- si CD est direct par rapport à AB et du signe — dans le cas contraire. On reconnaît facilement que
ABCD = — ACBD = CABD . . . .
Soient o",, j',, c, ; x^, lo, z.>\ x-^^y-i, z-^-. x^^y^, z-, les coordonnées des quatre sommets donnés, et soient x-^, y^, Z:,, ..., ^g, rg, ^8 les coordonnées de quatre autres points A', B', C, D'. Représentons par (a, p, y, o) le déterminant
■^a JKa -^a
XI yz zi
Si l'on remarque que le rapport des distances de deux points {xx, y\, z\) et (^a, JKjXî '-ii.) a" plan défini par les trois points (•ÎPa, ra, -a), (^p, JKp, -p), (^Y' .Ty' ^y) ^St égal à
(î^-. «, p. Y)' pourvu que les distances considérées soient regardées comme étant de même signe ou de signes contraires, suivant que les points ()v) et (a) sont d'un même côté ou de côtés différents du plan, on a successivement, en grandeur et signe,
