BG— GB' GA' — AG' AB— BA
PLAN ET LIGNE DKOITE. 5y
74. On oblient directement ces équations de la manière suivante :
Soil OC (y?^. 20) la parallèle à la droite AB menée par l'origine des coordonnées, cl soient x,y, z les coordonnées d'un point quelconque M de la droite A13, x^^ y^^, z^ celles d'un point déterminé A pris sur la même droite, et enfin a, b, c les coordonnées d'un point quelconque D de la droite OC.
Les projections des segments parallèles AM, OD sur un axe quelconque étant proportionnelles aux longueurs de ces segments, et, en outre, ces projections étant des segments de même sens ou de sens
contraires, suivant que les segments AM
et OD sont eux-mêmes de même sens ou de sens contraires, on a,
en généralisant les calculs relatifs au plan (I, 88),
.Yo ^ — -^0
p désignant la mesure algébrique du rapport — ^,- ? ce rapport étant
affecté du signe + ou du signe — , suivant que AM et OD sont de même sens ou de sens contraires. D'après cela, si le paramètre p varie de — ao à + 00, le point M décrit la droite AB tout entière dans le sens du segment OD.
Les coordonnées du point M sont donc
a7 = a"o+«p, y=yo-^t>^.
cp.
Le point D se nomme point directeur de iVB; on peut prendre pour point directeur un point quelconque de OC.
Les coordonnées a, 6, c se nomment les paramètres directeurs de la droite AB, On peut les remplacer par des quantités proportionnelles; mais, dans ce cas, il importe de remarquer que si l'on écrit, par exemple,
x — scq y—yo
si a, p, y ne sont pas des coordonnées, /• n'est plus nécessairement
58 CHAPITRE in.
un nombre, et l'on a ;■ = A ■ ; si le degfré dhomoffénéilé de a est
OD ^
égal à n, celui de T., c'est-à-dire celui de r, sera i — n.
Lorsque l'on prend le segment OD pour unité de longueur, p est la mesure algébrique du segment AM, et a, b, c, coordonnées du point directeur D, situé à l'unité de distance de l'origine, se nomment les paramètres principaux de la droite AB.
75. Cas particuliers. — i" Supposons que la droite donnée rencontre le plan xOy au point A(/?, ^, 0)5 les équations de cette
droite étant alors
on en tire
ou bien
(4) x = mz-\-p, y — nz -^ q.
Ces équations, qui ne renferment que quatre paramètres, m, n,/?, ^, sont souvent commodes dans la résolution des problèmes.
2° Si la droite est parallèle au plan x Oj/", elle peut être évidemment représentée par des équations de la forme
X — x<i V — Vo
Il suffit de supposer dans les formules générales c = o, z = h^
ce qui donne
X = Xo+ ap, y — y^-i- bp, z = h
ou
x — Tq y — jKn ^z — h a b o '
en convenant que, si le dénominateur d'un des rapports est nul, on devra annuler aussi son numérateur.
D'ailleurs des équations (4) on tire
Sil'
on pose
n np
ni ^ m
np
ol si l'on suppose que h, )v, {jl restant fixes on fasse croître indéfiniment m, n, p, q, on obtient à la limite, pour toute valeur finie de ^,
ce qui montre que les écpiations (4) sont générales, pourvu qu'on attribue aux paramètres des valeurs finies ou infinies.
76. Angle de deux droites. — Les équations des droites A, d' étant données, on connaîtra les paramètres directeurs de ces droites ou, tout au moins, on pourra déduire de ces équations des quantités proportionnelles à ces paramètres; on pourra donc calculer les angles formés par les parallèles à ces droites menées par l'origine des coordonnées.
Si les équations des deux droites sont
a^ — -rn y—Vi) Z — Zn T — Tx y—yi Z — Zi
abc a' b' c'
et si V désigne l'un de leurs angles, on a, par exemple, si les axes sont rectangulaires,
,r , aa' -\- bb' ■+ ce'
COSV = ££ —; ' •
Si rt, b, c sont les coordonnées du point directeur D de la droite A et a , />', c' celles du point directeur D' de A', la formule précédente convient à l'angle DOD', si s = s', et à son supplément, si s = — s'.
On a ensuite
{ bc' —cb' )'^-\- (ca' — ac' Y ^ {ab' — ba'Y
sin2\
Condition d'ortliogoncdité :
aa -{- bb' + ce' = o.
Conditions de parallélisme :
11. Remarque. — Quand les axes sont rectangulaires, la droite menée par l'origine et faisant avec les axes de coordonnées des angles a, p, y a pour équations
ces a cos[J cosy
CHAPITUIÎ m.
Il n'en est plus de même si les axes sont obliques; les équations de cette droite sont alors
or -h y cosv -f- z ces jx a? cosv -h y -i- z cosl x C09,ix -{-y cosX -+- z cosa cos^ cosy
78. Déterminer la direction d^ une droite orthogonale à deux droites données A, A'. — Les équations des deux droites A, A' étant données, on connaît les j3aramètres angulaires de ces droites : a, ^, c; «', h\ c'. Soient /, m, n les paramètres d'une droite orthogonale à A et à A'; si les axes sont rectangulaires, on a
d'où
la -4- inb -j- ne = o,
la' -i- inb' -\- ne'
bc' — cb'
ab' — ba'
et, par suite, si /, m, n sont les paramètres principaux,
bc' — cb' K ■
ca — ac
ab' —ba'
en faisant
R = \/{bc' — c6')^-H {ca — ac')2 t- {^ab' — ba )^
Si l'on suppose les points directeurs à l'unité de distance, R est égal à sinV, V désignant l'angle aigu ou obtus formé par les parallèles aux droites A, A', menées par un point quelconque; et l'on peut écrire
bc' — cb' sin V
ca — ac
sin V
ab' — ba' siu V
Il est facile de reconnaître à quelle demi-droite correspond la détermination £ =-4-T. Pour cela, soient D et D' les points directeurs principaux de A et de A' et soit A le point ayant pour coordonnées /, m, n. Le tétraèdre OADD' a pour mesure
abc a' b' c'
c'est-à-dire - e sinV; si l'on suppose s = -i-i, le segment OA doit être dirigé
de façon que DD' soit direct par rapport à OA; c'est-à-dire qu'un observateur placé les pieds en O, la tête en A, verra OD à sa gauche et OD' à sa droite, de sorte qu'une rotation d'angle V qui amènerait OD en OD' doit se faire de gauche à droite.
PLAN ET LIGNE DROITE. 6l
Si les longueurs OD, OD' n'étaient pas prises pour unité, les paramètres (litt'ctoiirs principaux de la normale positive OA seraient
bc' — cb' ca' — ac' ah' — ba'
^ ODOD sinV ' '" ^ ODOD'sinV ' " ^ ODOD'sinV *
79. Équations des bissectrices des angles formés par deux droites concourantes. — Soient D(a, 6, c) et D'(a', 6', c') les points directeurs de deux droites données et soit D'j le symétrique de D' par rapport à l'origine des coordonnées; soit E le quatrième sommet du parallélogramme construit sur OD et OD' et soit E' le quatrième sommet du parallélogramme construit sur OD et OD'j ; les coordonnées de ces points sont
a-\-za', b-\-zb', c-{-zc'\
£ = -\-\ correspondant au point E et e = — i au point E'.
Si l'on suppose les longueurs OD et OD' égales, les droites OE et OE' sont les bissectrices des angles formés par OD et OD'; donc si les points D, D' sont supposés à des distances égales de l'origine, les bissectrices des droites définies par les équations
X — X(i y—,Vo g — 3o x — xq y~yo j — -sp
abc a' b' c'
-int, en vertu de ce qui précède, définies par les équations
X — Xq J—Vq __ ^ — f 0 ^ a -t- sa' b-+-zb' c-i-zc'
Si les points D et D' sont à des distances quelconques de l'origine, les équations des bissectrices sont
X — Xo JK— JKo z — Zo
en posant
R=:/K«, 6, C), R' = /'H«', ^'. c')- 80. Coordonnées de PliXcker. — Les équations d'une droite
peuvent s écrire
y—yp z — zq
cy — bz = cyo — bzo, az — ex = azQ — cXq, bx — ay = bxQ — ay^.
62 CHAPITRE Iir.
Si l'on pose de sorte que a, p, y sont les déterminants déduits du tableau
en supprimant successivement chacune des colonnes, les équations de la droite prennent la forme
cy — bz = a,
az — ex = p,
bx — ay =: y.
Ces équations sont celles des projections de la droite sur les plans de coordonnées.
On a identiquement
aa-i-6p-HCY = o.
fl suffit, pour déterminer une droite, de connaître les rapports mutuels des coordonnées homogènes «, è, c, a, p, y et, comme ces paramètres sont liés par l'équation précédente, on voit qu'il n'y a en réalité que quatre paramètres.
Remarquons immédiatement que l'équation
est vérifiée par les coordonnées de tous les points de la droite considérée; c'est donc l'équation du plan déterminé par l'origine des coordonnées et par cette droite.
Coordonnées homogènes de la droite passant par deux points. — Soient x\ y', z' et x" , y" , z" les coordonnées cartésiennes de deux points A, B; les équations de la droite AB étant
on voit immédiatement qu'on peut poser
Coordonnées homogènes de l'intersection de deux plans. — Soient
Ax -{- By -+■ Cz -+-D = o, A'x + B'v+C'z^D =o
les équations des deux plans donnés. En éliminant successivement chacune
(les variables a", y, z (73), on voit qu'on |)eut poser
a = BG'— GB', ^» = GA' — AC, c = AB'-BA', a = DA'-AD', p = DB'-BD', y = DG — GD'.
