Coordonnées te'traédriques d'une droite. — Soient
ificr -+- Viy -H M',z -1- r^t — o, UiX -t- i'iy -h ti^2 5 -jf r-it = o
les équations de deux plans rapportés à un tétraèdre de référence. Si l'on pose
/'l,î = (ifl^'i) = —P2,\, Pl,3 = ("l"'2) = —P3,l,
Pl,i = («1 ''2) = —P*,ly PZ,3 = (l'l»'2J = —/>.!, 2»
(M,1>.,) = ,,,tv, ,,,(',,
etc.
les équations des plans passant par la droite A, intersection des deux plans donnés, et par les sommets du tétraèdre de référence, sont
Pi,i7^Pi,3^ -^PiA^ =0'
I P3,l^ -^ P3,îr ■+-P3,'J = 0,
[ />4,ia7-f-/j.,27-f-/'i,3- =0.
Les quantités /?i 2) yfi.s, />i,45 /'2,3, />3,4, /'4,2 sont appelées les coordonnées /étraédriques de la droite A ; elles sont liées par la relation
Pl,2P3,', + Pt,3P',,2 ■+-pi,iP2,3 = O,
comme on s'en assure en développant par la règle de Laplace le déterminant nul
rî
fi
Réciproquement, si la relation (2) est vérifiée et si l'on suppose d'une manière générale />a/ = — />,-,>t, les équations (i) représentent quatre plans se coupant suivant une droite commune, car, en ajoutant les premiers membres des trois dernières équations multipliés pa^r p^,,. pf,^2j Pi,3i on obtient identiquement zéro; en multipliant de même par /?3,4, />4,i pi,3 les premiers membres de la première et des deux dernières équations et ajoutant, on obtient I ncore zéro, etc.
On peut exprimer les six coordonnées tétraédriques en fonction des coor-
données Xi, yi, zi, ti et x-i, y%, -3-2, t^ de deux points de la droite. En effet, les équations
i'i.ajl -1-/^1,3 -Si -l-/?i, 4?! = G,
donnent
px,'i = \{Zih), pi^s = l{tiy.2), /'iA = '*^(Jl^2)• 0n a ensuite
P'2,1 '"^1-+- Pî,3 ^1 +P2,i h = O, ' /'2,1 •^2 + /'2,3 -22-t-/'2,4 ^2 = O,
d'oij, en tenant compte de l'expression déjà connue de pi^^,
P2,i = ^^i^ih), Pk,i = '^{x\Zi), et l'on obtiendra de même
Les six coordonnées sont donc
^,«2 — ^1^2, ^172 — 71^2, Jl-2— ^1^2,
^l72— 7l^2, ^1^2 — ^1^2, Xit.,— tiX.2.
On a ainsi obtenu
Ui VC-i — Wi Ui
Wi r-i — /'i Wï
Ji^i—^ifi Xiy-r
■yix.
('l (^2 Wi P2
Xi ti txX'i
82. Moment d'un vecteur par rapport à un point. Interprétation des coordonnées de Plûcker. — Considérons trois axes rectangulaires et un vecteur AB ; soient o^o, JKoî -^o les coordonnées du point A et a, b, c celles de
l'extrémité G d'un vecteur OG équipollent à AB. On nomme moment du vecteur AB par rapport au point O (ou encore moment du vecteur OA par le vecteur OG) un vecteur OM perpendiculaire au plan OAB, dont la longueur soit mesurée par le même nombre que l'aire du parallélogramme construit sur OA et OG; ce vecteur étant, en outre, dirigé dans un sens tel que AB soit direct par rapport à OM.
Il est .facile de calculer les coordonnées a, p, y
de l'extrémité du moment OM. La droite OM
{fig. Il) étant perpendiculaire à OA et à OG, si l'on nomme V l'angle AOG,
les paramètres directeurs principaux de l'axe OM ont pour expressions (78)
cjo— 6^0 aZ(,— cX(, bxo—ayo
OA.OGsinV
OA.OGsiuV
OA.OGsinV
PLAN KT LIGNE DROITE, mais, si l désigne la longueur prise pour unité, on a
„„ OA.OGsinV OM = . :
les cooidonnées iln point M sont donc
hz.
aso — CTo
bXn
«ro
Si l'on projette le parallélogramme OABC sur le plan des x, y on obtient un parallélogramme OA'B'C; en appliquant les formules précédentes au vecteur A'B', on trouve que son moment, par rapport au point O, est précisément égal à la projection de OM sur 0^. Il résulte immédiatement de là que si l'on forme le moment de AB par rapport à un autre point de 0-3, la projection du nouveau moment sur O^ sera encore égale à y.
Pour cette raison le vecteur y se nomme le moment de AB par rapport à l'axe 0^; il est égal au moment de la projection de AB sur un plan perpendiculaire à Os par rapport à la trace de Oz sur ce plan.
On voit que a, p, y sont précisément, à un facteur constant près, trois des coordonnées homogènes de la droite AB.
