OM

OD'

en outre, le sens dans lequel on doit mener OH est évidemment déterminé. On peut donc regarder OD et OM comme étant les coordonnées vectorielles de la droite AB; les composantes de OD et de OM, sur trois axes rec- NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 5

tangulaires passant par O, sont les six. coordonnées de Plucker et, réciproquement, les résultantes des coordonnées de même nature sont les deux coordonnées vectorielles.

8i. Intersection de deux droites. Condition pour que deux droites soient dans un même plan. — Soient

y — Vn h

Xo Xi

yo-ji

Zq ^1

les équations de deux droites. Pour que ces droites aient un point commun, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer p et p' ^érifiant les équations

/ Xo -h ap = Xi -h a' p',

(0 ' .l'o-t-'^p =yi + b'p',

( Zq-^ Cp = Zi + c' p'.

La condition pour que ces équations soient compatibles est

Si cette condition est remplie et si l'un des mineurs formés avec les éléments des deux dernières colonnes du déterminant est différent de zéro, par exemple a&' — ba' y^ o, les deux premières équations du système (i) déterminent les valeurs de p et p' qui vérifient la troisième équation, et, par suite, les deux droites données sont concourantes.

Si les éléments des deux dernières colonnes du déterminant (i) sont proportionnels, les droites données sont parallèles.

Si les éléments des deux premières colonnes sont proportionnels, les deux droites se coupent au point (.Tj, j-,, ;s, ) ; si la première et la troisième colonne sont proportionnelles, le point (.To, jKo? ^o) est commun aux deux droites. Enfin, si les éléments des trois colonnes .sont proportionnels, les deux droites sont confondues.

La condition (2) peut s'écrire

2tf

c esi-à-clire (3)

rt, 6, c, a, ,3, Y et a', b' , c' , a', [i', y' étant les coordonnées homogènes des deux droites.

En posant

aa-f-63 + CY =f{a,ù,c, a, p, y),

cette relation peut s'écrire

da où Oc 0% ^ d'^ ' t^Y

En tenant compte des relations

rta 4- 6 ^ -H CY = o, rt'a'-r- b"^' -\- c'y' = 0, l'équation (3) peut se mettre sous la forme

elle exprime donc que la résultante des vecteurs OD et OD' est perpendiculaire à celle des vecteurs OM, OM', en désignant par OD, OAl et OD', OM' les coordonnées vectorielles des deux droites.

85. Exercice. — Mener, parallèlement à une direction donnée, une droite qui rencontre deux droites données. — Soient

T —Xq y

X — •■^1 y —Il z — zx

les équations des deux droites données; si X, Y, Z sont les coordonnées d'un point de la droite cherchée et a, p, y les paramètres directeurs de cette droite, ses équations sont

en écrivant qu'elle rencontre les deux droites données, on obtient les équations

X — Xq a a

Z — zo c Y

X — Xi a' a.

qui définissent la droite cherchée, en y regardant X, Y, Z comme des coordonnées courantes.

Si l'on remplace a, p, y respectivement par bc' — cb' , ca' — ac' , ab' — ba' ces équations représenteront la perpendiculaire commune aux deux droites données, en supposant les axes rectangulaires.

86. Exercice. — Mener par un point (a;', y', z') une droite gui rencontre deux droites données. — Conservons les notations précédentes; on obtiendra les équations demandées en éliminant a, p, y entre les équations

Xq — X a a

Jo —y' b p

Zfi — z' c Y

On trouve ainsi

Ou ç\ — — j[j (J^ ijj '"'■" i/7 I

yr-y' b' ,3

X\ — X a X — X yi—y' b' y — y'

Intersection d'une droite et d'un plan. — Condition de parallélisme.