Soient

kx+ BjK-f- C-S + D = o,

les équations du plan el de la droite donnés. Les coordonnées du point commun s'obtiendront en remplaçant dans les équations

x = x^^a^, jK=JKo+6P) z — z^+c^,

0 par la valeur qu'on obtient en résolvant l'éqviation

A(a-o-+-«p)-+-B(jo+ ^'p)+ G(^o-<-cp)-+-D = 0, ce qui donne

A .-To + B;Ko -f- G 2o -*- D

Aa-i-B6 + Gc

11 en résulte que la condition pour que la droite soit parallèle au

plan est

Aa-f-BZ» + Gc = o.

Celte condition exprime que le plan parallèle au plan donné et mené par l'origine contient le point directeur (a, ^, c) de la droite. On retrouve ainsi ce théorème de Géométrie élémentaire : pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il faut et il suflît que la parai-

Irle à la droite menée par un point de ce plan y soit contenue tout entière.

Pour que le plan donné contienne la droite donnée, il faut et II suffit que la valeur de p soit indéterminée, c'est-à-dire que

Art -f- Bi -+- Ce = o, Aa"o-l- Bj'o-t- G-o-<- D = o,

ce qui veut dire que le plan doit être parallèle à la droite et doit en outre contenir l'un de ses points.

88. Exprimer que trois droites partant d'un même point sont dans un même plan. — Soient D(rt, b, c) , D'(«', 6', c'), D"(«", b", c) les points directeurs des trois droites données; ces droites, partant d'un même point, par hypothèse, sont dans un même plan si les trois points directeurs et l'origine des coordonnées sont dans un même plan, et réciproquement. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que

ia h i a' b' < . a" b" c

Si l'on nomme a, P, y; a', P', y'; a", P", y" les angles que les droites font avec les axes de coordonnées, on reconnaît que le produit du déterminant précédent par le déterminant lo^ est égal à

ll'l"

cosa cos[i cosy cosa' cosP' cos-f' cosa" cos^" cosy"

/, /', /" désignant les distances des points D, D', D" à l'origine. La condition demandée peut donc s'exprimer encore en égalant à zéro le dernier déterminant.

C'est ce que l'on reconnaît directement en remarquant que les plans perpendiculaires aux droites données, menés par l'origine, ont pour équations

arcosa -+-^cosp -hzcosy = o, cr co^a.' -hy cos^' -i- z cosy' = o, X cosa"-f-/ cosp'-t- z cosy' = o,

€t pour que ces droites soient dans un môme plan, il faut et il suffît que les trois plans précédents aient une droite commune.

La condition obtenue est la même en axes obliques ou en axes rectangulaires.

89. Mener par un point (^o, yç^, Zq) une droite parallèle à deux plans donnés. — Soient

kx '\-By-\-Cz — o. k' X -\-Wy-\- Q,' z = o

les équations des deux plans; les équations

A (.r — a^o) -f- B {y —yo) -+- G (z — ^o) = o, A'(a" — a:-o) + B'(jK— JKo) -^ G {z — z^) = o

représentent la droite cherchée. On en tire

oe — x,^ ^ y—y<> - — -0