BC— GB' CA— AG' AB — BA
On obtient encore ces équations en exprimant que
X — Tn y — Vq z — Zq abc
représentent une droite parallèle aux plans donnés, c'est-à-dire en
posant
ka -)- B6 -i- Gc = o,
Aa'+ B6'-f- Ce' —o.
90. Mener par un point (xo, jj'o? ^o) uf^ plan parallèle à deux droites données. — Soient
les équations qui définissent les directions données 5 un plan passant par le point donné ayant pour équation
k{x — X(,)^B{y — yQ)^(^{z — z^)=o,
les coefficients A, B, C sont assujettis aux conditions
Aa -f- B6 + Gc = o, Aa'-+- B^'-t- Gc' = o;
l'équation cherchée est donc
ou
— ^0 y — yo
(x — Xo) (bc' — cb' ) -\- (y — yo ){ca' — ac') -i-(s — Zo)(ab'— ba') = o.
PLAN ET LIUNK UROITK.
Angle d^ine droite et d'un plan. — Conditions d'orthogonalilé.
9i. L'angle qu'une droite fait avec un plan est le complément de l'un des angles que cette droite fait avec la normale à ce plan. Nous savons déterminer la direction de la normale à un plan; nous pouvons donc considérer le problème comme résolu.
Si les axes sont rectangulaires et si A, B, C sont les coefficients des variables dans Téquation du plan, «, 6, c étant les paramètres directeurs de la droite, on a, d'après cela, V désignant l'angle cherché,
sm V =
En écrivant que sinV = o on retrouve la condition de parallélisme ; et en posant sin^ V ^ i et appliquant la formule de Lagrange, on obtient les conditions d'orthogonalité
^ '^ Ç abc
Ces équations expriment que la droite donnée est parallèle à la normale au plan.
92. Equations de la perpendiculaire à un plan menée par un point donné. — Soient
A:r-i-BK-hGj+ D = o
l'équation du plan et .ro,jKoi ^o les coordonnées du point. Les équations cherchées sont (axes rectangulaires)
En désignant par P le premier membre de l'équation du plan, les coordonnées du pied de la perpendiculaire sont
où
Po p A«-i- B*-+-Gî'
-72 CUAPITIIE III.
93. Equation du plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné {axes rectangulaires). — Si les paramètres directeurs de la droite sont a, 6, c, le plan cherché a pour
équation
a{x—XQ)-^b{y—yo)-^c{z—ZQ) = o.
94. Équations de la perpendiculaire menée à une droite par un point P(xi,y,, ^i) pris hors de cette droite. — f.a perpendiculaire cherchée est l'intersection du plan perpendiculaire à la droite donnée et passant par P et du plan contenant cette droite et le plan P.
Soient
X — Xçf y — jKo -" — -^o
abc
les équations de la droite donnée A. Un plan passant par le point P(.r( , jK) 5 2) ) ^ pour équation
k{x — xi) ^B{y — y^) -\- C{z — zi) = o.
Ce plan devant contenir la droite A, les coefficients A, B, G doivent vérifier les équations
kixQ — Xi) + B(7o — 7i)+ C(^o— -Si) = o, Aa + B6 + Ce = o.
L'équation de ce plan est donc
•'^ — ^0 y — jo -s — -so
Jfi — x^ yi—yo Zi—zç)
abc
Le système formé par cette équation et celle-ci
a{x — xi) -^b{y ~yi)-^c{z — Zy) = o, représente la perpendiculaire abaissée de P sur A.
Distances.
