COSY
c'est-à-dire, en développant,
oi- — cos^Y sin-v = o.
On vérifie ainsi que to- est positif et moindre que i, et l'on peut poser
(l ou
COSY sinv = w, V = abciù.
Si a=: b = c = i, on a V = to; (o est donc la mesure du volume du parallélépipède construit sur les axes et dont les arêtes sont égales à l'unité. La mesure de l'aire du parallélogramme construit .sur OA et OB étant aO sln(x, y), par analogie, on pose
et Ton écrit
V = abc sin(j-, ^, - ).
Pour cette raison, on a nommé o) le sinus de Sangle trièdre Oxyz.
Pour que co- = i , il faut et il suffit que sin[Ji = sinv = sinx\.= i , ce qui exprime que le trièdre des axes doit être trirectangle ; dans ce cas, le déterminant co* se réduit à sa diagonale principale.
Si l'on nomme — F(J?, y, ^) la fonction adjointe de la fonction ^{x, y, z), la relation fondamentale (5) prend Ja forme
F(cosa, cos[5, cosy) — w' = o;
on le voit en remplaçant la dernière colonne du déterminant (5) par la somme de deux colonnes ayant pour éléments cosa, cos^, cosy, ° ^^ °> o> 0, i.
l6 CHAPITRE I,
La relation précédente peut s'écrire
ros-a sin^X H- cos^P sin^ [jt + cos- y sin^v — i cos p cosy sin \j. sinv cos A
— 2 cosy cos a sinv sinX cosB — ■>. cos a cos J3 sinX sin [jl cos G -- o.
En décomposant en carrés la fonction ¥ {x,y, z), on trouve
Y ix,y, z) = (^sinX — 7sin[jL cos G — ^ sinv cos B)-
-J- (^ sin ;JL sin G — ^ sinv cosX sinB)2+ z'^ sin-X sin-v sin^B,
et, par suite, pour toutes les valeurs réelles de .r, j', z, le polynôme ¥ix,y, z) est positif et ne peut s'annuler que si a? = jk = ^ — o.
18. Angles de deux demi-droites. — Soient OA, OA' deux demi-droites {Jig- ii) et a, b, c les cosinus directeurs de la première, a', b' , c' ceux de la seconde. Soit encore M{x,y, z) un point de la demi-droite OA. Si nous projetons le contour OPQM des coordonnées du point M el sa résultante OM successivement sur les trois axes et sur OA', nous obtiendrons, en désignant par / la longueur OM et j)ar V l'angle AOA', •
d'où il résulte que
X ■+- J)^ COSV -t- -3 COS|X = /«,
.rcosv-r-j -f-^cosX=/6,
a; COS [j. -)- j' cosX -H -3 =^ le,
a' X -î-b'y -hc'z =/cosV,
( cosv cos[x a
cosv I cosX b
cos [x cos X I c
a' b' c cosV
et, en écrivant dans la dernière colonne o 4- a, o -\- b, o -H c, cos V -t- o et développant
I cosv cos[x a
cosv I cosX b
cos [JL cosX I c
w- cos V
ou enfin, en tenant compte des notations du n" 17,
db
cos \ = \ a \- b
2 tu 2 \
da
, d¥ ' Te
La condition d'orlhogonalité est donc
,0F .,()¥ , dV OV , dV à?
a h t» -7 -4- c — - = o ou rt -— , -f- 6 -7-, -f- c — ; = ().
Oa ou Oc Ou Oo Or
19. Autre expression de cosV. — Si l'on désigne par x', y', z' les coordonnées d'un point M' pris sur OA' à une distance /' de l'origine, on a
l = x-hy-{-z, l' = x' -h y -+• z' ,
d'où, en faisant le produit des deux, vecteurs / et ?',
//' cosV = xx' -^ yy' -]- zz' -h (yz' + zy') cosX -+- {zx' -t- xz') cos;jL -+- {xy' -i-yx') COSV
■>.\ Oz <fy Ox I i\ Ox ^ Oy Oz '
On peut obtenir aussi cette équation en multipliant par x\ y\ z' les deux membres des équations (i), (2), (3) du n" 18, et les ajoutant membre à membre en tenant compte de l'équation
ax' -T- by' -\- cz' = l' cos V.
Si donc on suppose / = /' = i , on a
cosV = - Lr — !- -)- K -r- -t- - -r ■i.\ Ox -^ Oy Oz J
'2\0x Oy' Oz
La condition d'orlhogonalité est
Ox "^ Oy dz
