Distance d' un point à une droite. — Soient
•■^ — -^0 r — JKo - — -^0
les équations d'une droite A et .r,, jKi, -i les coordonnées d'un point A.
Si nous abaissons de A la perpendiculaire AH à la droite BC iJfg' 23), le triangle rectangle ABH donne Pj ^3
AH
AB — BII .
On peut supposer que le point B ait pour coordonnées Xt^,yQ, z-q et, par suite,
AB =(^7, — a7o)2+(7, — 7o)-+(-^l-^o)-•
En second lieu, BH est la distance du point B au plan perpendiculaire à la droite BG et passant par le point A, donc
BH"= [^(^« — ^o) + ^(ri — ro) -»- g(-gi — -gp)]^
En remplaçant AB et BH par les expressions précédentes, puis réduisant au même dénominateur et appliquant l'identité de Lagrange, on obtient, pour la distance d à\x point A à la droite BC, la formule
jo ^ [c^'yi — Ko) — ^>(-s, — Zo)]i+[aUi— Zq) — c(.r, — aro)]2+r6(j7,-j-o) — CT(y,— j^o)p
rt2| 62 -f- C^
Autre méthode. — Désignons par x,y, z les coordonnées du pied H de la perpendiculaire AH. On a
a{x — xi)-^ b{y —yx)^c{z — s,) = o.
En désignant par ai, Pi, yi ce que deviennent les coordonnées homogènes de la droite BG quand on remplace Xq, y^, Zq par Xy, yi, Zi, on a
(^{y—yi) — f^X^ — -,) = a— a,,
a{z —Zi)— c{x — xi) = ^—^i, b{x — Xi) — a(y—yi) = y — yi ;
ajoutons membre à membre, après élévation au carré des deux membres, les équations (2), (3), (4), (5); on obtient
rf2(aî^^,2,c2) = (a-ai)2+(P-pi)î-t-(Y-Y,)2; on retrouve la formule déjà obtenue.
96. Equations de la perpendiculaire commune à deux droites. Expression de la plus courte distance [axes rectangulaires). — Soient
y — ro
x — xi ^ 7 — ,ri
les équations de deux droites.
Le plan P mené par l'origine des coordonnées et parallèle à ces droites a pour équation
x{bc' — cb' ) -^ y{ca' — ac') -\- z{ab' — ba' ) = o.
Un plan mené par la première droite et perpendiculaire au plan P a pour équation
pourvu que
Aa + B6 4- Ce = o,
\(bc' — cb') -+- B{ca' — ac') -i- C{ab' — ba') = o. L'équation de ce plan est donc
bc'
y—jo z — zq b c
ac' ab' — ba
ca
De même, le plan mené par la seconde droite et perpendiculaire au plan P a pour équation
x — spi y—vi z — zi
bc' — cb' ca' — ac' ab' — ba'
Ces deux équations définissent une droite s'appujant sur les deux droites données et perpendiculaire au plan P et, par suite, à ces deux droites elles-mêmes ; ce sont donc les équations de la perpendiculaire commune aux deux droites données.
La longueur du segment de la perpendiculaire commune comprise entre les points où elle rencontre ces deux droites est égale à la distance du point (a:^,, j-,, z^) au plan parallèle à P mené par le point (^O)JKoi ^o)i c'est-à-dire à
^ (xx — a-p) ( bc'— cb') -\- ( y^— yç>){ca' — ac') -t- (-Zi — ^q) (a6'— ba') s/{bc' — c6')"^-f-( ca' — ac')2-i- {ab' — ba')^
On peut écrire immédiatement cette expression en remarquant que, si Ton appelle A le point ayant pour coordonnées 3*o, ^oi -So et B le point ayant pour coordonnées ari,^i, ::i, la projection du segment AB sur la perpendiculaire commune est précisément égale à la plus courte dislance des deux droites, et pour obtenir cette projection il suffit de faire la somme des projections des composantes Xi — Xq, y^ — y^, zx — Zq de AB sur une droite dont les cosinus directeurs sont proportionnels à bc' — cb' , ca' — ac\ ab' — ba' .
97. Remarque. — Le numérateur de l'expression précédente est, au signe près, égal à
En égalant à zéro cette expression, on obtient donc la condition pour que les droites données soient dans un même plan. Nous avons déjà obtenu cette condition, qui subsiste avec des axes obliques.
Si l'on suppose que «, b, c soient les coordonnées d'un point directeur D,
a', b\ c' celles d'un point D'; en posant u= OD, a'= OD' et en appelant, comme plus baut, t^ le vecteur ayant pour composantes a, p, y. et ^' celui qui a pour composantes a', P', y') la plus courte distance a pour expression
, uv' -^ vu'
uu' sin V
Vêtant l'angle des deux droites. Le produit c? sin V se nomme le moment des deux droites données; il a pour expression
uu u et u' désignant les longueurs absolues OD, OD'.
98. Exercice. — Autres méthodes pour calculer la distance d'un point à un plan ou à une droite et la plus courte distance de deux droites. 1° Soit ^{x,y, z) un point du plan défini par l'équation
Aa-4- ^y -^Cz + D = o,
et soit V{xx,yi, Zx) un point donné. Cherchons le minimum de AM . Si l'on
pose
u^{x — xiy-^{y—yiy-^{z — ziy-,
on peut regarder u comme fonction des deux variables indépendantes x,y, car z est une fonction de j? et de ^ déterminée par l'équation du plan. En posant, pour simplifier,
dz dz
on a
Ox=P^ ^=^'
yÔ CHAPITRE III.
Or, si u est minimum, on a
du du
c'est-à-dire, en tenant compte des valeurs de jo et de q,
Q,{x — Xi) — A.{z — ^j) = o, G(7— ri) — B(2 — -30 = 0,
d'où l'on tire
B{x — Xi) — k{y — yx) = o.
Mais
en désignant Kx^ h- Bj'i + G^i -t- D par Pj. En ajoutant les carrés des premiers et des seconds membres de ces équations et, désignant par d'^ le minimum de u, on trouve
2° Soient
a^o-f-ap, jKo + ^p, -So+cp
les coordonnées d'un point M pris sur une droite donnée. La fonction
M = (ap -i- a^o — a7i)2 H- (6p +jKo — JKi)^ H- (cp -t- ;3o — ^i)^
étant supposée minimum, on a
a{açi -\- Xq — Xi) -\- b{b^ -l-jKo — Yi) -t- c(cp H- ^o— -Si) = o-
En remplaçant p par la valeur tirée de cette équation, on retrouve l'expression du carré de la distance du point K{xi,yi^ Sj) à la droite donnée. On peut faire usage de l'artifice suivant : En vertu des équations précédentes, on peut écrire
I.a^.'S.{a^^XQ — XxY—\'^a{a<?+Xo—Xi)]'^
En appliquant l'identité de Lagrange, p disparaît. 3° Soient enfin
XQ-{-a^, yo-+-bp, Zg-i-cp et Xi-+-a'p', .yi-hb'p', Zj-t-c'p'
les coordonnées de deux points M, M' pris respectivement sur deux droites données. La plus courte distance de ces deux droites est le minimum de MM'. Proposons-nous de chercher le minimum de l'expression
u = {xo — Xi-h ap — a'p'y -^ (yo—yi-h b p — b' p'y -h (cq — ^i-f- cp — c'p')^.
S'il existe des valeurs de p et de p' pour lesquelles ces trois carrés soient
l'LAN ET LIGNE DROITE. 77
nuls, la valeur minimum de u sera nulle; mais cela ne peut arriver que si les deux droites se rencontrent. Supposons qu'il en soit autrement.
Pour chercher le minimum de u, on peut préalablement multiplier u par une constante quelconque. Or, en vertu de l'identité de Lagrange, si nous désignons par L*, M^, N^ les trois carrés dont la somme est représentée par M, on peut écrire
( A2+ B2+ C2)M = (BN — GM)«-i-(GL — AN)^-^ (AM — BL)î
-i-(AL-+-BM + CN;2.
Mais on peut déterminer A, B, G de façon que le dernier carré soit indépendant de p et de p', car il suffit de poser
Aa + B6 -1- Ce = o, Aa' + B6'-i- Gc' = o
et, par suite, il suffit de faire
A = 6c' — cb', B = ca' — ac\ G = ab' — ba'.
Si l'on suppose ces valeurs attribuées à A, B, G, on voit que u sera minimum si l'on détermine p et p' par les conditions
et le minimum cherché, c'est-à-dire le carré de la plus courte distance, aura pour expression
[(xo—xi)(bc'—cb')-h(jo—yi)ica'—ac')-h(zo — zi){ab'—ba')]^^ ~ {bc—cb'y^{ca'—ac'Y + (ab'—ba'y
On peut, en outre, déterminer les valeurs de p et p', qui correspondent aux pieds de la perpendiculaire commune; car il suffit de résoudre le système suivant
a-Q— -^i-i- «? — a'p'-t- \{bc' — cb') = o, yçj—yi-\-bp — b'^'-{-'k{ca'—ac') = o, -0 — ^1 -+- c p — c' p' -H X (rt 6' — ba') — o,
dans lequel X est une inconnue auxiliaire. Le déterminant de ce système est égal, au signe près, à la somme des carrés des coefficients de X ; il est donc différent de zéro, si l'on suppose les droites données non parallèles. Si l'on nomme x\ y' , z' et x" , y", z' les coordonnées des pieds de la perpendiculaire commune, on voit que les équations précédentes peuvent s'écrire
x" — x' -\-'k{bc' — cb') = o, y" — j'-t- \{ca' — ac') = o, z" — ^' -t- X (a b' — ba' ) — o.
■jS CIIAPITIIE m.
On en déduit que les cosinus directeurs de la perpendiculaire commune sont proportionnels aux coefficients de 1.
D'autre part, le plan mené par la seconde droite et par le point M a pour équation
x — xi y— Il
Xq— Xi-\- ap J'o — yi + bp Zo— Zi-+- cp
En remplaçant les éléments de la dernière ligne par leurs valeurs a' p' — \{bc' — cb'), b' p' — 'k{ca' — «c'), c' p' — \{ab' — ba'), on voit que le coefficient de p' est nul, et il reste
x — xi y—y\ z — z\
bc' — cb' ca' — ac' ab' — ba'
c'est l'une des équations de la perpendiculaire commune. On retrouve l'autre par le même procédé.
Rapport auharmonique d'un faisceau de quatre plans.
