POINTS, DROITES ET PLANS IMAGINAIRES

100. Points imaginaires. — Si une équation /(^,jj^, :;) = o est vérifiée quand on pose x ^ a -\- a' i^ j = b -\- b'i, z = c -j- c' i^ nous dirons que la surface représentée par l'équation précédente passe par le point imaginaire ayant pour coordonnées les nombres imaginaires précédents.

Ainsi, de même qu'à un système de trois paramètres réels a, b, c correspond un point réel, le point ayant pour coordonnées «, Z>, c si ces lettres désignent des longueurs; de même si a, a', b, b', c, c' désignent des longueurs, nous dirons que a -h a' i, b -\- b' i, c -\- c' i sont les coordonnées d'un point imaginaire et que a — a' i, b — b' i, c — d i sont les coordonnées du point imaginaire conjugué du premier.

101. Plans imaginaires ; droites imaginaires. — On appelle plan imaginaire l'ensemble des solutions d'une équation du premier degré en x, y^ z à coefficients imaginaires, et droite imaginaire l'ensemble des solutions d'un système de deux équations du premier degré à coefficients imaginaires. On suppose, bien entendu, que les coefficients de ces équations ne soient pas les produits de coefficients réels par un même facteur imaginaire. Par opposition, si les coefficients sont réels, on dit que le plan ou la droite sont réels.

On appelle, en général, surface imaginaire l'ensemble des solutions d'une équation à coefficients imaginaires; mais il peut arriver qu'une équation à coefficients réels n'ait que des solutions imaginaires; nous dirons encore qu'elle représente une surface imaginaire. Une ligne imaginaire peut être l'intersection de deux surfaces dont

Tune au moins est imaginaire ou l'intersection de deux surfaces réelles qui n'ont aucun point commun.

102. Théorème. — Dans tout plan réel ou sur toute droite réelle il y a une infinité de systèmes de deux points imaginaires conjugués.

La démonstration est immédiate.

103. Théorème. — Tout plan imaginaire passe par une droite réelle.

En effet, l'équation d'un plan imaginaire peut se mettre sous la forme P+fQ = o, P et Q étant deux polynômes à coefficients réels; le plan considéré contient la droite réelle commune aux plans P et Q. Ces plans sont d'ailleurs distincts, car si l'on supposait Q=);P, l'équation P + t'Q = o se réduirait à P(i + A)=:oou P=: o et par suite ne serait pas à coefficients imaginaires.

104. Corollaire. — Deux plans imaginaires conjugués se coupent suivant une droite réelle.

En effet, on appelle plans imaginaires conjugués deux plans dont les équations peuvent se mettre sous la forme P + /Q = o et P — i'Q = o. Ils ont donc en commun la droite définie par les équations P = o, Q = o.

lOo. Théorème. — Il n''y a, en général, aucun point réel sur une droite imaginaire.

En effet, les équations d'une droite imaginaire sont de la forme

P-t-tQ = o, R-i-tS=o,

P, Q, R, S étant des polynômes réels; les coordonnées d'un point réel appartenant à cette droite devraient vérifier les quatre équations

qui n'ont pas, en général, de solutions communes.

Lorsqu'une droite imaginaire a un point réel, ce point appartient aussi à la droite imaginaire conjuguée.

106. La droite qui passe par deux points imaginaires conjugués est réelle.