POINTS, DROITKS ET PLANS IMAGINAIRES
En effet, si dans les équations
x'=a-^(i'i, x" = a — a' i , etc., X — a — a' i y — b — b' i z — c — f '
on pose on obtient
ai b' i ci
ou, en simplifiant,
CoROLLAinE. — Sur une droite imaginaire^ on ne peut pas trouver deux points imaginaires conjugués.
107. Théorème. — Quand deux droites imaginaires se coupent, leur point de rencontre est réel et leur plan est réel.
Si le point commun était imaginaire, le point conjugué serait aussi commun et les deux droites coïncideraient; en second lieu, si le plan des deux droites était imaginaire, le plan conjugué les contiendiait aussi; elles seraient donc confondues.
Corollaire. — Dans un plan imaginaire on ne peut tracer deux droites imaginaires conjuguées.
108. Remarque. — Comme nous l'avons déjà fait en Géométrie plane, nous conserverons aux expressions analytiques qui représentent des éléments géométriques, quand les lettres dont elles dépendent représentent des quantités réelles, les mêmes noms quand ces lettres représentent des imaginaires. Ainsi l'expression
{x^-x,y-^{y^—y^y-^{z^~ZiY
sera toujours le carré de la distance de deux points ayant pour coordonnées rectangulaires, réelles ou non, x^, y^, Zq et :r,, )■,, ;:,. Il peut arriver que le carré de la distance de deux points imaginaires soit positif.
Pareillement, si un point M a pour coordonnées
aroH-Xa^i yo-^-lyi Zq-^-Izi
86 CHAPITIIK V.
ce point est sur la droite qui joint les deux points M^,{xo■, J'o^ ^-o) et
HT / \ 1- - MMn
M, (.ri, r,, 5, ) et nous dirons encore que — A=T7TT~'etc.
^ iVJ ;V1 1
L'expression
aa' -^ bb' -h ce'
yja"- -\- b^^ c- \/a'^4- b'^-^ c"^
s'appellera encore cosV, et nous dirons que V est l'angle des directions de paramètres a, 6, c et a' , b' , c', les axes étant rectangulaires, même si quelques-uns de ces paramètres sont imaginaires.
109. On nomme sphère le lieu des points situés à une distance donnée d'un point fixe. La distance fixe se nomme le rayon et le point fixe le centre. Soit R le rayon d'une sphère et soient a^ b, c les coordonnées de son centre; son équation est
ou, en développant,
(i) J^(.r, JK, ^) — rya — y'yb-. ^'K + 4^(«' ^' c) — R2=: o,
•!^(x^y, z) désignant, comme nous l'avons vu, la fonction
x^-h y-^ 3--+- -lyz cosX -+- "^.zx cos;ji. -f- ixy cosv.
Quand les axes sont rectangulaires, l'équation précédente se réduit à
(37 — a)2+(j 6)2+(^ — CY- R- = O.
410. Conditions pour que V équation du second degré représente une sphère. — Soit
(2) ^{x, y, 5) ->r iCx ^ 'iC'y-^ iC z -¥-ï) — o une équation du second degré, dans laquelle on a posé
(p(r, y, z) = Ax--^ \'y--i- A's^-f- 2Byz -h -xB' zx ■+■ f.Wxy.
Pour que l'équation (2) représente une sphère, il faut et il suffit que l'on puisse déterminer a, b, c, R de façon que les premiers membres des équations (1) et (2) ne diffèrent que par un facteur constant. Les calculs et raisonnements sont les mêmes que dans les questions analogues de Géométrie plane relatives au cercle. Le coefficient de x^ dans (2) étant égal à A et dans (i) à l'unité, on doit poser A^ o, puis
(4) iC = -\'y,„
(7) D + AR2= A']^(a, 6, c).
Si les axes sont rectangulaires, on a donc, en vertu de l'identité (3), les conditions
(8) A=A'=A", B = B'=B"=o quand les axes sont obliques :
' COSÀ
:os.a cosv
Si l'on suppose ces conditions remplies, les coordonnées a, b, c sont déterminées par les équations (4), (5), (6) qu'on peut écrire
(4)' rt + 6cOSV + C COS (X = — Y '
G' (5/ « cosv -i- 6 ■+• c cosX = j^>
(6)' a COS jU -I- 6 COS X H- c = ^>
et dont le déterminant est différent de zéro. On peut remarquer que
les projections orthogonales du centre sur les trois axes sont déterminées; ainsi sa projection sur Ox est le point ayant pour abscisse
-, etc.
Pour déterminer R^, on multiplie les deux membres de ces équations par — a, — bf — c et l'on ajoute, membre à membre avec l'équation (y); il vient
Ca-^Cb-h C"c + Dh- AR2 = o.
Donc, en éliminant a, b, c entre les équations (4)', (5)', (6)', (9) et tenant compte des relations (8)', il vient
d'oij
ou
