G G' G" D + AR

H désignant le discriminant du polynôme (2) et A celui du polynôme o{x,y, z) ; mais, en vertu de l'identité (3), A = A^to-, donc

Les conditions pour que l'équation (2) représente une sphère réelle sont donc, dans le cas général,

cosX

COS'JL COSV

Si H >> o, les coordonnées du centre sont réelles et R est imaginaire sans partie réelle.

D'après cela, l'équation générale des sphères peut se mettre sous

la forme

A'\i(x, y, z) -\- iCx -\- 9.0' j -h iC'z + 0 = 0.

Convention. — Toutes les fois que nous supposerons A = i , nous représenterons par a- le premier membre de l'équation d'une sphère.

111. Équations d'un cercle. — Un cercle peut être défini comme étant l'intersection d'une sphère par nn plan. D'après cela, si nous représentons par t = o l'équation d'une sphère et par P = o l'équation d'un plan, les équations d'un cercle seront

cr = o, P = o.

Si )^ et [JL sont deux paramètres variables, les équations

représentent une infinité de cercles situés dans des plans parallèles à un plan fixe, et dont les centres se trouvent sur une droite fixe perpendiculaire à ce plan; en effet, si \ varie, le centre de la sphère représentée par l'équation '7^=\ reste fixe et l'on obtient le centre d'un des cercles considérés en abaissant une perpendiculaire, du centre de la sphère sur laquelle il se trouve, sur son plan.