Calcul de sinV. — En supposant l = l' = i, c'est-à-dire
'V('^, JK, 5) = i, '!^(x',y', z')^f,
nous avons
sin*V = I — cos^V = I — {^''^i-^y''\>î-r- -s'-^î)^.
En posant <^, = - — ^, , • • ., on peut écrire
sin»V= (x<!^t -^ yi^i -h z'!^3){x''^\ -^/'V. "^-''^3) ~{x'\>\ -hy'l'i-hzY3){^''!,>i -^y''\'i -t-^'-i^î),
ou plus simplement
sinîV = I.{xy' —yx')(<!^i'\/'^ — '\f\^i). NiEWENOLOWSKI. — G. an., III.
l8 CHAPITRE I.
Mais on reconnaît aisément que
^i^'2 ~ 't'i'1'2 = i^y—y^') sin^v -H (yz' — zy') (cosX cosv — cos[ji)
■+- {zx' — .r^') (cos[x cosv — cosX),
et pareillement pour les expressions analogues. On en déduit
sin^V = F(^;;' — zy' , zx' — xz' , xy' — yx').
Pour que sinV = o, il faut et il suffit que
yz' — zy' = zx' — xz' ^^ xj' — yx' = o,
puisque F(«, p, w) est une iaxxsxQ définie^ c'est-à-dire ne peut s'annuler que si w, V, w sont nuls; donc, en tenant compte des hypothèses 4'(-^>/> -)= '> (J^(a7',^', 5') = !, il faut prendre
x'—tx, y'=zy, z' = zz (£=rti). Lorsque l et l' ont des valeurs différentes de l'unité, on a
et
gjj^2V = F ( j^' — zy\ zx' — xz', xy — yx' ) ^^' Les conditions
x' =\x, y'=z\y, z'^^Xz
expriment que V = o ou V = r suivant que X est positif ou négatif.
On peut d'ailleurs trouver pour cosV et sinV une autre expression. Si l'on décompose 'i^{x,y, z) en carrés, on a
et, de même.
Or
d'où
' ' dx dx dx
ôy ây dy
' dz dz dz
.r'Ç;, -f-yj;2 + y^3=PP'-t-QQ'4- RR',
et, par suite,
PP'^-QQ'-hRR' cosV =
y/pj -+- Qï + R2 v/P'2-f- Q'î H- R'î
et, enfin,
(QR'-RQ')2-4-(RP'— PR')2+(PQ'— QP')î
sin2V =
21. 5"t7 existe trois nombres réels a, b, c vérifiant la relation fondamentale 10* — F(a, ô, c) = o, on peut construire une demi-droite OA ayant ces trois nombres pour cosinus directeurs.
Prenons, en effet, sur les axes, des segments OA = a, OB = b, OC = c après avoir choisi une unité de longueur. 11 y a un point M et un seul qui se projette orthogonalcment en A sur Qx, en B sur Oy et en C sur Oz. Soient cosa, cos^, cos^ les cosinus directeurs de la demi-droite OM, et désignons par / la longueur OM. En vertu de la construction^du point M.
a rj ^ c
cos r—-i cos ^, — - 1 cos v = - ;
donc
to^ — -ji F(a, b, c) = o.
el, par suite,
l — i et cos3c=«, cosp = 6, cosy = (■•
Réciproquement, s'il existe une demi-droite OA dont «, b, c soient les cosinus directeurs, les projections orthogonales d'un segment OM, égal à l'unité de longueur et pris sur cette droite, sont égales à a, b, c. On voit ainsi que le problème posé a toujours une solution, et qu'il n'y a qu'une seule demi-droite répondant à la question.
22. Problème. — Trouver une demi-droite dont les cosinus directeurs soient proportionnels à trois nombres donnés.
11 s'agit de déterminer les angles a, p, y tels que
cosa cos 3 cosy abc
a. b, c étant des nombres donnés.
Si l'on désigne par X la valeur commune de ces rapports,
cosa = Art, cos^ = X^, cosY=Xc,
donc X doit vérifier l'équation
w- — Xî V(a. ù, c) = o,
ce qui donne
On obtient donc deux demi-droites opposées définies par leurs cosinus directeurs, qui ont pour expressions
cosa =
\/¥ia,b,c)' s/¥{a,b,c) ' v^F(a, 6,c)
23. Remarque. — Nous avons fait remarquer plus haut que ¥{a, 6, c)est positif; les valeurs trouvées pour X sont donc réelles. On peut vérifier ce résultat de la manière suivante. Prenons sur l'axe Ox le segment OA —a\ sur Oy, OB = b, sur O-s, OG = c, et considérons le point M qui a pour projections orthogonales A, B, G. Si a, p, y sont les angles que OM fait avec les axes, on a
a = Zcosa, 6 = /cosp, c = lcos-(,
l étant la longueur OM, ce qui prouve que la demi-droite OM est une solution. Le problème est donc possible, et, par suite, X est réel. D'ailleurs, si M' est symétrique de M par rapport à l'origine, il est clair que OM' est aussi une solution et, comme le problème n'a que deux solutions, les valeurs de X sont réelles et correspondent à deux demi-droites opposées.
24. Trouver l'angle de deux droites connaissant des nombres proportionnels à leurs cosinus directeurs. — En conservant les notations précédentes, on trouve, au moyen de la formule du n° 18,
,ô¥^ dF ,0¥
., , da db de
COSV :
•i /F( «, b, c) F(rt', b' , c')
et, par conséquent, la condition d'orthogonalité conserve la même forme que si a, b, c, a' , b' , c' étaient les cosinus eux-mêmes.
23. Extension des calculs précédents à des segments quelconques. — Soit M,M2 un segment dont les extrémités ont pour coordonnées x^.,y^, C) et .^2,^2, z.^. On a
M, M, = 072—^1 -^y-i — yi -+- -2 on en conclut
Si les axes sont rectangulaires :
Si l'on considère deux segments MqIVIi, MoMj, on pourra évidemment appliquer les formules des numéros précédents en remplaçante, j>-, z clx'.y, :■' pare, — a"o, J'i —fo, -i— ^ol a:.— x^,
Coordonnées du point qui partage un segment dans un rapport donné.
26. Soit M le point qui partage le segment M, Mo dans le rapport — A, de sorte que
Si l'on appelle m, w?,, m.i les projections des points M, M,, Mj sur l'un des axes, faites parallèlement au plan des deux autres axes, la relation précédente se conserve en grandeur et en signe, et l'on a
//j/Hi -f- A mni-i = o.
On en déduit immédiatement, pour les coordonnées de M,
ou, en posant A = <- ,
Xia?|-t-Xia-.2 XijKi -f- XajKa Xi Zi-hljZ,
""- h + 1.2 ' ^~ X, + X2 ' ""- Xi + X, '
j",, j)",, V, étant les coordonnées de M,, et ^aj JK2> ^2 celles de M^. Si ). varie de — oo à -+- oo, le point M décrit la droite M, Ma tout entière. Si X=ro, le point M coïncide avec M,, si A est infini M coïncide avec Ma ; enfin, si )v = i , le point M est le milieu de M, M a et ses coordonnées sont
a^, H-j"2 .ri+.r-2 -1 -t- -}
27. Application. — Soient M,, Mo, M3 trois points quelconques. Le point M défini par les formules précédentes est sur la droite
M) Mo, et le point P ayant pour coordonnées
(Xi + Xo)a7 -4- X.Ta'j
Xl -i- X2 -+- X3 (Xi+X2)jK-hX3JK3
•^ Xi + X,+ X3 •
Aj H- Aj -r- A3
est un point de la droite MM3. Donc, en faisant varier arbitrairement X,, )^25 ^3î les formules
X)a?i + Xoa^'o -I- X3:r3 ~ Xi+ X2-+- X3
XlJKl-i-X2j^2+X3j^3
Aj -T- A2 -+- A3
k\ Zy H- A2-52 -1- A3 Z^
définissent un point quelconque du plan passant par les trois points donnés.
