PLAJV RADICAL DE DEUX SPHERES. INTERSECTION DE DEUX SPHERES
113. Le lieu des points d^ égale puissance par rapport à deux sphères est un plan perpendiculaire à la ligne des centres des deux sphères.
En effet, si l'on représente par (t(jc, jk, s) = o, (T,(^,y, 3) = o les équations des deux sphères, le lieu demandé a évidemment pour
équation
ou, pour abréger,
Pour trouver les points communs aux deux sphères données, il suffît de résoudre le système o- = o, t — a-, = o. La seconde équation représentant un plan, on en conclut que l'intersection de deux sphères est un cercle.
Si l'on prend des axes rectangulaires, on vérifie immédiatement que le plan radical est perpendiculaire à la ligne des centres.
114. Les plans radicaux de trois sphères, prises deux à deux, se coupent suivant une droite .
En effet, soient (r = o, a-, = o, o-^ = o les équations des trois sphères données; leurs plans radicaux ont pour équations
ff — jj =r o, aj — ^2 = o, a2 — a = o.
La somme des premiers membres est identiquement nulle; donc ces trois plans ont une droite commune définie par les équations
(T = J] = (Tj.
Cette droite, que nous nommerons Vaxe radical des trois sphères,
SPHÈKE. 91
est perpendiculaire au plan des centres. Si les centres sont en ligne droite, elle est, en général, rejetée à l'infini.
lio. Les plans radicaux de quatre sphères, prises deux à deux, ont un point commun.
En efl'et, il suffit de considérer l'axe radical des trois premières sphères, défini par les éqtiations
7 = ji = jj
et le plan radical de la première, par exemple, et de la quatrième
On voit que la droite et le plan ainsi obtenus se coupent au point
défini par les équations
3 = ji = (J2 = 53
et qui a même puissance par rapport aux quatre sphères. C'est leur centre radical.
116. Equation générale des sphères passant par V intersection de deux sphères ou d^une sphère et d'un plan.
Soient T = o, o-, = o, P = o les équations de deux sphères et d'un plan. L'équation générale des sphères, passant par l'intersection des deux premières, est a- 4- )v'7, = o ; celle des sphères passant par l'intersection de la première et du plan P est t + XP = o. Démonstration par le procédé habituel.
117. Cercle de l'infini. — Deux sphères peuvent occuper les mêmes positions relatives que deux cercles situés dans un plan; elles peuvent n'avoir aucun point commun, un seul point commun qui est alors situé sur la ligne des centres, ou enfin se couper suivant un cercle. Mais, de même que deux cercles situés dans un plan ont en commun deux points imaginaires, qui appartiennent à tous les cercles tracés dans ce plan, de même toutes les sphères ont en commun un cercle imaginaire à l'infini, qu'on nomme le cercle de Vinfini. Pour expliquer le sens de cette proposition, écrivons sous forme homogène l'équation d'une sphère quelconque
^{x,y., 2) -\- iQaxI -\- "iCyl ■+- 2 C zt -1- D/* = o.
Cette équation est vérifiée si l'on pose
92 CHAPITKE V.
Nous dirons que toute solution xq, yo, -So) ^o de ce système représente ui» point et, comme ^o = o, nous dirons que c'est un point à l'infini. Nous avon* déjà convenu de dire que t = o est l'équation d'un plan fictif nommé le plan de Vinjini. Or, l'équation
n'a que des solutions imaginaires, si on laisse de côté la solution x = o, y — o, z = o; d'autre part, soit J^ojJKo» ^o une solution quelconque; l'équation est encore vérifiée si l'on pose
a- = X a^o , y = XjKo , z=lzo, c'est-à-dire
^0 JKo -So
On convient, comme nous le savons, dédire que les équations précédentes,. à coefficients imaginaires, représentent une droite imaginaire issue de l'origine et, par suite, la surface représentée par '\i(a:, y, z) = oesl une surface imaginaire n'ayant qu'un point réel : l'origine, et formée par des droites imaginaires issues de l'origine; c'est ce qu'on nomme un cône, mais un cône imaginaire. A un autre point de vue, c'est aussi une sphère ayant son centre à l'origine et son rayon égal à zéro.
D'après cela, l'ensemble des solutions du système
est ce que l'on nomme le cercle de l'infini. Le cône représenté par l'équation '^^Crr, ^, z) = o peut être considéré comme ayant pour sommet l'origine des coordonnées et pour directrice le cercle de l'infini.
Si l'on fait une transformation de coordonnées en conservant l'origine et que a?', j)'', ^' désignent les nouvelles coordonnées d'un point quelconque M(a7, y. z), on a
de sorte que le cône considéré ne change pas. Si l'on suppose les axes rectangulaires, ce cône a pour équation
Le plan xOy est un plan quelconque mené par le sommet du cône; il coupe ce cône suivant les deux droites définies par le système
c'est-à-dire suivant les droites isotropes issues de l'origine et tracées dans le plan xOy. On voit ainsi que, par un point quelconque de l'espace, on peut mener une infinité de droites isotropes, qui sont situées sur un cône déterminé ayant ce point pour sommet; nous pouvons, en effet, prendre le point considéré pour origine des coordonnées et, par suite, lui appliquer ce
spiiÈRK. g3
■qui précède. Pour cette raison, le cône représenté par l'équation '^^(3:, j, 5) = o se nomme le cône isotrope ayant pour sommet l'origine.
Le cône isotrope ayant pour sommet un point quelconque (^oj ^oi -^o) a pour équation
•c'est la même chose que la sphère de rayon nul ayant ce point pour centre. Gela tient à ce que la distance de deux points situés sur une droite isotrope ■est nulle et réciproquement.
Remarquons enfin que, si l'on fait une transformation de coordonnées, le j)lan de l'infini ne change pas; donc le cercle de l'infini est une courbe abso- Jument invariable.
Toutes les sphères ont donc en commun le cercle de l'infini et, réciproquement, toute surface du second degré qui passe par le cercle de l'infini est une sphère. En effet, si l'on pose ^ = o dans l'équation d'une surface de -second degré, on obtient
En d'autres termes, la courbe représentée par les équations
•est située sur cette surface. On voit, comme plus haut, que la première équation est celle d'un cône ayant son sommet à l'origine; pour que le plan de .rinfini coupe ce cône suivant le cercle de l'infini, il faut et il suffit que
<ce qui démontre que la surface doit être une sphère. Cela étant, soient
'i^{x,y,z)-{-'i.Cxt -^'îC yt ^iC zt -^ D/2 = o, 'if{x^y,z)-{-'i.C{Xt-T''i(Z\yl-\--i.(^'[zt-^- T>it- — o
iles équations de deux sphères. Les points communs à ces deux surfaces sont définis par le système de ces deux équations, que l'on peut remplacer par le système formé par la première, par exemple, et par l'équation
i[2(G — C,)a:-t--2(G'— C'j^K-hafC— C';)^-H D — Di)/] = o.
Or, cette dernière se décompose en deux ; f = o donne le plan de l'infini et le second facteur donne le plan radical. Donc l'intersection complète de deux sphères se compose de deux cercles, dont l'un est le cercle de l'infini.
Si deux sphères sont concentriques, le second cercle se confond avec le •cercle de l'infini.
H8. On nomme plan isotrope tout plan tangent au cercle de l'infini. Supposons les axes rectangulaires et cherchons la condition pour qu'un plan,
94 CUAI'ITKE V.
passant par l'origine et ayant pour équation
ux -h i>y -{- w z = o, soit isotrope.
Les droites communes à ce plan et au cône isotrope
devant être confondues, nous avons à faire le même calcul que s'il s'agissait d'exprimer qu'une droite est tangente à une conique représentée dans un plan en coordonnées homogènes.
La condition demandée est donc
Cela posé, soient
ôp y z
les équations d'une droite isotrope et, par suite, supposons
Soient a', p', y' les paramètres directeurs d'une seconde droite; nous appellerons cosinus de l'angle de deux droites imaginaires l'expression analytique formée avec les paramètres de ces droites, qui représente le cosinus de leur angle quand elles sont réelles. D'après cela, pour les deux droites que nous considérons, la formule
cos V =
aa'-l- p^'-t-yy'
/a2 4- |B2 -+- ^çi /a'2 + ^'2 -(- y'
montre que cosV est infini. Cette conclusion n'est pas légitime si la seconde droite est parallèle au plan isotrope défini par l'équation
aa7+ pr + Y- = o^
et qui n'est autre chose que le plan tangent au cône isotrope mené par la droite isotrope considérée; dans ce cas, cosV est indéterminé.
La normale au plan précédent est la droite isotrope considérée elle-même; donc la perpendiculaire à un plan isotrope, menée par l'un de ses points, s'y trouve contenue tout entière.
Exprimer que deux sphères sont orthogonales.
119, Définissons provisoirement le plan tangent en un point à une sphère, le plan perpendiculaire en ce point à l'extrémité du rayon qui y passe; nous dirons que deux sphères sont orthogonales quand les plans tangents, menés en chacun des points de leur intersection.
SIMli-RE. 95
sont perpendiculaires. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, (|ue
d désignant la distance des centres et R, IV les rayons des deu\ sphères.
En raisonnant comme dans le cas des deux cercles (I, 243), on obtient la condition
COSV
COSii.
COSV
cosX
COSfJL
cosX
ac;
ac;
DA
