AD

Cette condition est linéaire par rapport aux coefficients de chacune des deux équations et réciproquement; si les coefficients variables de l'équation d'une sphère sont liés par une équation linéaire et homogène, la sphère variable représentée par cette équation est orthogonale à une sphère fixe.

120. Equation de la sphère circonscrite à un tétraèdre, en coordonnées tétraédriques.

Soient xi, yi, Zi{i = i, 2, 3, 4) les coordonnées des sommets A, B, G, D du tétraèdre, rapporté à trois diamètres rectangulaires de la sphère circonscrite à ce tétraèdre. Nous ferons la transformation suivante :

X = 7.X1 -h '^Xi-\- yX3 -+- OX:, ,

Z = %Zi -l- p -2 -+- Y -3 -t- O^V ,

t = OL -h^ -+-Y +8 , en substituant dans l'équation

nous voyons immédiatement que les coefficients de 7.^,^^,^^, 0* sont nuls

et que le coefficient de a^ est égal à — 2AB . Si nous désignons par a, b, c

les arêtes AB, AG, AD, et par d, e,/les arêtes respectivement opposées aux premières GD, BD, BG, on a identiquement

a;2 4-^2 -H ;:2 Rî f2 = — (a2 a ^i -)- /Ç»2 a Y -4- c^a 0 -t-/* '^y -^ e^^o ^ d'--^;rj ).

Le discriminant du premier membre est égal à — R*, celui du second a

pour expression

D'autre part, le module de la substitution est égal à ± 6V, V désignant le volume du tétraèdre ; donc

D désignant le déterminant précédent. Or ce déterminant, qui a pour expression

peut se mettre sous la forme

— {ad-+- he -\- cf){ad -+- be — c/){ad — be -+- cf){ — ad -^ be + cf)

et, par conséquent, si l'on pose ad -\- be -\- cf = as, on a

36R2V2 = s{s — ad){s —be){s — cf).

Les paramètres a, p, y» o sont les coordonnées barycentriques du point ayant pour coordonnées cartésiennes x, y, z. L'équation de la sphère circonscrite au tétraèdre de référence a donc pour équation, en coordonnées barycentriques,

a2a^ -l-62aY + c^ao -!-/2;3y H-e2j35 | c?2.^g o.

Si l'on désigne par A, B, C, D les aires des faces du tétraèdre, et par «1) Pi, Ti) Oi les coordonnées normales, il suffira de poser a = Aai , p = B ^j, ■y = Gyi, s =D8i pour avoir l'équation de la sphère en coordonnées normales. En ajoutant au premier membre de l'équation trouvée l'expression

(Aaj -H B^i -I- Cyi + Doi)(Aa, + /i^i -+- l'(i -+- moi),

on aura l'équation d'une sphère quelconque.

Remarque. — On appelle quelquefois triangle adjoint à un tétraèdre

le triangle dont les côtés ont pour- mesures ad, be, cf. Si l'on désigne par S

l'aire de ce triangle, on a

Si les quatre points A, B, G, D sont sur un cercle, R doit être indéterminé, on a V = o, donc S = o, c'est-à-dire

ad ûi be ± cf = o.

C'est le théorème de Ptolémée. Réciproquement, si cette relation a lieu,

RV = o. Alors, ou bien les quatre points sont dans un même plan sur un cercle, ou bien ils ne sont pas dans un même plan ; dans ce dernier cas Vjî^o, donc R = o; ils sont donc alors sur une même sphère de rayon nul. (Cours de M. G. Darboux, à la Sorbonne, 1890-91.)

Inversion.

121. Soient O un point fixe et M un point variable; si l'on prend sur OM un point M' tel que OîSJ . OM' = k, k étant une constante positive ou négative {k = ± a', a désignant une longueur), on dit que la figure décrite par M' est l'inverse de la figure décrite par !\1, par rapport au point 0, qu'on nomme \e pôle d'inversion.

Si l'on prend trois axes rectangulaires, issus du point O, et si l'on désigne par x, y, z les coordonnées de M et par a?', y\ z' celles de M', on a