OM
2 ar'2
kx'
et de même
z-'- ->r y"^ -\- z"^ ky' kz'
x'^ -i- y'- -\- z''^ x''^-hy''^
Donc si le point M décrit une surface ayant pour équation /(x,y, z) = o, le lieu de M' sera aussi une surface définie par l'équation
/ kx ky kz \
Il en résulte immédiatement que si M décrit une ligne, intersection de deux surfaces, M' décrit aussi une ligne, intersection des deux surfaces respectivement inverses des premières.
L'inverse d'un plan est une sphère passant par le pôle d'inversion, et réciproquement; en effet, pour plus de simplicité, prenons pour axe des x la perpendiculaire au plan menée par le pôle; l'équation de ce plan étant X = a, son inverse a pour équation
kx = a{x^-\-y^ -f-^').
Réciproquement, on peut mettre l'équation d'une sphère passant par le pôle sous la forme précédente et, par suite, son inverse est un plan perpendiculaire au diamètre passant par ce pôle.
L'inverse d'une sphère quelconque est une sphère ne passant pas par le pôle. Démonstration immédiate.
L'inverse d'un cercle est un cercle; car un cercle peut être défini comme l'intersection de deux sphères.
NiEWENGLOWSKI. — G. an., III. 7
gS CHAPITKE V.
Si l'on considère deux points M', M" correspondant à deux valeurs différentes de la puissance d'inversion A-, k\ on a
ÔM . ÔM' = k, ÔM . OM" = k\ donc
Oi\r 1^
et, par suite, M" et M' décrivent des figures homothétiques par rapport au point 0. On a alors
EXERCICES
1. Lieu des points dont le rapport des distances à deux points fixes est constant.
2. Lieu des points tels que la somme des carrés de leurs distances à des points fixes soit constante, chaque carré étant multiplié par un coefficient constant.
3. Lieu des points télé que les pieds des perpendiculaires abaissées de chacun d'eux sur les faces d'un tétraèdre soient dans un même plan.
4. Lieu des points tels que les pieds des perpendiculaires abaissées de chacun d'eux sur les faces d'un tétraèdre forment un tétraèdre de volume constant.
5. Déterminer les coordonnées des centres de similitude de deux sphères.
6. Étant données quatre sphères, six centres de similitude de ces sphères prises deux à deux, convenablement choisis, sont dans un même plan. Le nombre total de ces plans est égal à 8. Former leurs équations.
7. Former l'équation de la sphère qui passe par les sommets d'un tétraèdre connaissant les coordonnées rectilignes des sommets.
8. Former l'équation de la sphère circonscrite à un triangle et dont le centre est dans le plan de ce triangle, connaissant les coordonnées des sommets du triangle. Cas particulier : }es sommets du triangle sont sur les axes de coordonnées.
9. Déterminer une sphère tangente à quatre plans. Calculer les rayons des sphères.
10. Déterminer une sphère tangente à quatre sphères. (Voir Leçons de l Agrégation, par M. G. Kœnigs.)
H. Trouver le lieu des points de contact des sphères tangentes à trois
spiilîiiE. 99
sphères données. — On pourra, à l'aide d'une inversion, remplacer une des sphères données par un plan.
12. Lieu des centres des sphères qui coupent deux sphères données suivant des grands cercles.
13. Lieu des centres des sphères qui coupent trois sphères données suivant des grands cercles.
14. Lieu des centres des sphères qui coupent orthogonalement deux sphères données.
13. Lieu^des centres des sphères qui coupent orthogonalement trois sphères données.
16. Former l'équation de la sphère qui coupe orthogonalement quatre sphères données.
17. Trouver le rayon de la sphère de centre donné qui coupe une droite A en deux points A, B et une droite A' en deux points A', B', de sorte que le tétraèdre ABA'B' soit équivalent à un cube donné.
18. Si, sur une sphère de rayon pris pour unité, on trace une courbe quelconque, on a, entre les coordonnées o", ^, z de tout point de cette ligne, la relation
( .r'î + y 2 -f- -'^ ) [ ( xf — yx"Y 4- ( JK^" — zy" y -^(zx" — xz" y ]
^{x'x"-^y'y"+z'zy■^r\x{y'z"—z'f)^y{z!x"—x'^:')^z{^x'f—y'x'')Y,
dans laquelle les accents des dérivées sont relatifs à une variable indépendante. (E. Catalan.)
19. Fêtant données trois sphères, on peut leur mener huit plans tangents communs, deux extérieurs, six intérieurs.
La somme algébrique des dislances d'un point quelconque aux deux plans extérieurs est égale à la somme algébrique des distances de ce point aux six plans intérieurs. (Stoll.)
20. Aux faces d'un tétraèdre ayant un sommet commun A on circonscrit trois sphères égales. Démontrer que les plans tangents aux points diamétralement opposés à A se coupent sur la corde commune aux trois sphères.
lOO CHAPITRE VI.
