COURBES GAUCHES : TANGENTE, PLAN OSGULATEUR, COURBURES
Équations de la tangente à une courbe.
122. Considérons une courbe quelconque; on peut la définir au moyen de deux équations
f{^,y,z) = o, fi{x,y,z)=o,
d'où il résulte que les coordonnées x^ y d'un quelconque de ses points peuvent êlre regardées comme des fonctions de z\ et, par suite, si l'on fait un changement de variables en posant z = '^{t)., les deux autres coordonnées deviendront des fonctions de la nouvelle variable t] en définitive, les trois coordonnées x, y, -z seront des fonctions de t :
Réciproquement, un pareil système d'équations définit une courbe, car les équations
définissent un cylindre parallèle à l'axe des z, et les équations
définissent un second cylindre parallèle à l'axe àes y\ l'intersection de ces deux cylindres est le lieu représenté par le système considéré.
Gela étant, soient M et M' deux points de la courbe, correspondant à des valeurs i et ^ + A^ du paramètre; la sécante MM' a pour équations
x—f{t) ^ y-^jt^ ^ z — ^jt)
COURBES GAUCHES. 10 t
les paramètres de la sécante MM' sont proportionnels à
/'(t + 0\t), cf'(< + 0AO, '!^'{t-i-(iM) (o<0<i). Ces expressions ont pour limites respectivement fit), o'(0, f(0.
La droite ayant pour équations
-r—fit) ^ y — oit) ^ z-^{t)
fit) «p'(0 f(0
est la tangente en M à la courbe donnée.
On peut remarquer que la projection de la courbe donnée sur le plan xOy étant définie parles équations x =f(t)^ y = '-p('), on vérifie ainsi que la projection d'une tangente est tangente à la projection de la courbe.
On peut encore écrire ces équations sous la forme suivante :
X — x Y— jK Z — z
dx dy dz
X, Y, Z désignant les coordonnées courantes et x, y, z celles du point M.
On voit ainsi que les coordonnées d'un point quelconque de la tangente sont de la forme
. dx ^ dy , dz
La tangente en M n'est déterminée que si les dérivées/'(^), 'f'(z), •y(i) ne sont pas nulles toutes les trois.
Si la courbe est définie comme intersection de deux surfaces, par
les équations
/(x, r, z) = o, /i{x,y, z) = o, on a
-^ dx^ ^ dy^ ^ dz = o, -f^ dx -^ -Ç- dy -h -^^ dz - o
dx dy "^ ôz dx Oy "^ ôz
et les équations de la tangente en M(^, y^ z) sont
àlà2x àfàf~'dldf^dlàf,~dfd/^dldj^^ dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx
ou encore
dy
Plan normal.
123. On nomme plan normal en un point d' une courbe le plan perpendiculaire à la tangente au point de contact.
Si les axes sont rectangulaires, l'équation de ce plan est
{X-x)dx-\-{Y —y)dy + {Z — z)dz = o OU, si l'on veut,
Quand la courbe est déterminée par deux équations, comme plus haut, en éliminant dx., dy, dz entre l'équation du plan normal et les équations obtenues en différentiant les deux équations données, on met l'équation du plan normal sous la forme suivante :
àf
àf
àf
dx
àf
dz
àA
àA
àA
dz
ày
dz
Longueur d'un arc de courbe.
124. Si l'on considère un arc de courbe AB et deux points M, M' de cet arc ayant pour coordonnées x, y, z et x -{- \x, y h- A/, z -H Az, la corde MM' a pour longueur
v/Aa-2 + Aj^2 , ^32
AiP
A^\2 X-xj '
en supposant les axes rectangulaires. Si l'on inscrit dans l'arc AB une brisée dont chaque côté ait pour limite zéro, les extrémités de cette brisée étant A et B, ou du moins ayant pour^ limites les extrémités fixes A et B de l'arc
