COURBES GAUCHES
peut représenter le premier par F(/) = o et le second par F{t -+- \t) = o. Lintersection de ces deux plans sera définie par les équations
ou, si l'on veut, par
F(0 = o, F(t-hM) = o,
donc, l'intersection de ces deux plans a pour limite, quand M' se confond avec .VI, la droite définie par les deux équations
ou
F(0 = o, F'(0 = o (X-x)x'-^{Y-jr)r''¥{Z-z)z' = o,
La droite DE ainsi obtenue est perpendiculaire au plan osculateur, puisque ses cosinus directeurs sont proportionnels aux déterminants
Fig. 23.
Si l'on prend l'arc s pour variable indépendante, l'équation (2) représente un plan perpendiculaire au plan normal en M, car on a, dans ce cas,
d'où, en prenant la dérivée par rapport à s,
Cherchons les coordonnées du point G, intersection de la droite DE avec le plan osculateur en M {Jig. 25), qui a, comme nous le savons, pour équation
(3) (X-x)(yz''-z'y)^{Y-y){z'x"-x'z")^{Z-z){xy"-yz")^o.
Le déterminant du système formé par les équations (i), (2) et (3) est égal à
c'est-à-dire
(,x"^^y"^-^z'^){x"'^—y''^z'"^) — {x'3r-\-yy^z'z')'^
ou
En second lieu
X y —yx
= s'*{x''{y"--¥ z''i)-x'(yy^z' z')\=.s'i{s'x'-x's').
donc
Pareillement
-ys"
On en déduit
X 2-i-jK - -+
Le point C se nomme le centre de courbure, et le cercle ayant pour centre C, pour rayon R et décrit dans le plan osculateur en M se nomme le cercle de courbure relatif au point M.
133. Normale principale, binormale. — Toute droite menée par M et perpendiculaire à la tangente en M à la courbe considérée est une normale à cette courbe. On peut donc mener, par chaque point d'une courbe, une infinité de droites normales, en ce point, à cette courbe; parmi toutes ces normales, il y en a deux que l'on distingue plus particulièrement, ce sont : 1° celle qui passe par le centre de courbure; on l'appelle la normale principale; elle est l'intersection du plan osculateur et du plan normal en M, et 1° celle qui est perpendiculaire au plan osculateur et qu'on nomme la binormale. La tangente en M, ou mieux la demi-tangente MT, la demi-normale MG dirigée de M vers le centre de courbure, et la binormale MB, constituent un trièdre. On peut choisir le sens de la binormale de façon que ce trièdre soit orienté comme le trièdre des axes. L'étude du déplacement de ce trièdre de référence, mobile avec son sommet qui décrit la courbe, est liée intimement à la nature de cette courbe; cette étude se fait en Cinématique. ( Voir, par exemple : Leçons de Cinématique, par G. Koenigs. Paris, Hermann. — Consulter aussi : Leçons sur la théorie générale des surf aces ; chap. P% t. P""; par G. Darboux. Paris, Gauthier- Villars.)
Nous allons déterminer les cosinus directeurs des arêtes de ce trièdre. Nous connaissons déjà ceux de la demi-tangente MT, qui ont pour expressions
dx „ dy dz
cosa = -T-j cosp = -^, cosy = ->-•
Le plan osculateur en M est parallèle au plan déterminé par le rayon Om de la sphère que nous avons considérée plus haut, et par la tangente en /n à l'indicatrice sphérique, puisque le plan mOm' est parallèle au plan mené par MT parallèlement à M'T'. Il en résulte que la tangente en m à l'indicatrice est parallèle à la normale principale en M; donc si a', P', y' sont les angles que MG fait avec les axes, on a
dcosx o, «?cosj3 , dcosy
cos a = — , — , cos p = — ; — - 5 cos V = - — ; — t
«or rtj ' do-
