COURBES GAUCHES. I
OU
cosa=R-^, cosp'=R-^, cosy'=R-^
c'est-à-dire
oosa' = R
dsd^x — dxd^s
ds^
cosp=R ^—T-" '
, , dsd^-z — dzd^s
Soient enfin a", p", y* les angles que la binormale fait avec les axes; on a oosa" cosp' cosY*
djd-z — dz d-y dz d^- x — dx d'^ z dx d^y — dy d- x
ds sj{d^xf-v-{d^yY ^ (.d-^zf — (d'-s)^' donc
. „ dyd^z — dzd^y cosa ^kJL^-^-^ ^,
„ , dzd-x — dxd^z ''''^ =^ di^ '
,, -^ dx d- y — dy d- x
cosv = R ^^—, — ^ .
' ds'
Si l'arc 5 est la variable indépendante, ces formules deviennent
cosa = 57', cosp = j'', cosy = -^',
cosa'=Ra7', cos^'=Rj''', cosY'=iRj",
cos% =K{y' z" — z' y"), co?,'^" =K{z' x" — x' z"), co'i'i" = \\{x' y" — y' x").
134. Rapportons une courbe à trois axes rectangulaires confondus avec le irièdre de référence relatif à un point de cette courbe, l'axe des x étant la tangente, l'axe des y la normale principale et l'axe des z la binormale. Si l'on développe les coordonnées x, y, z d'un point M en fonction de la variable t dont elles dépendent, les coefficients de t sont proportionnels aux cosinus directeurs de la tangente à l'origine; donc les coefficients relatifs à ^^^ et à 5 sont nuls et celui de x est égal à ± i ; on peut le supposer égal à 1, en choisissant convenablement le sens des abscisses positives; d'autre part, si t est infiniment petit du premier ordre, z doit être du troisième ordre puisque le plan xOy est le plan osculateur au point 0; dans ces conditions
NiEWENGLOWSKi. — G. an., III.
Il4 CUAl'ITRE VI.
Si l'on prend l'arc s, compté à partir de l'origine, pour variable indépendante, on doit avoir
a-'^ -t- jk'2 -+- 3'2 = I,
c'est-â-dire
donc
et, par conséquent,
X = S — ~ b^s^ + . . ., y = bs^ -h b' s-^ -i- . . ., z = cs^ -\-
On trouve ensuite, pour s = o,
Les coordonnées du centre de courbure sont
Le cercle de courbure est donc le même que eelui de la projection de la courbe sur le plan osculateur.
Si l'on calcule la corde OM, on trouve, pour la longueur de cette corde,
/ = s— ^ b^s^-i- ..., c'est-à-dire
donc
et l'on voit ainsi que la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est infiniment petite du troisième ordre, cet arc étant supposé du premier ordre.
Torsion.
135. Le plan osculateur d'une courbe gauche ne reste pas parallèle à un plan fixe ; soient M et M' deux, points infiniment voisins d'une courbe gauche; les plans osculateurs en ces points font un angle infiniment petit w, qu'on nomme V angle de torsion. Le rapport de cet angle à l'arc MM' est ce
COURBRS r.AUCHBS.
qu'on nomme la torsion moyenne; la limite de ce rapport est la torsion; on pose
liiii — - = -, as X
•z se nomme le rayon de torsion.
Soit
l'équation du plan osculateur au point 'M{x,y, z). On a . , S(AAB — BAA)î
(A»-t-B*-i-C*)[(A-t-AA)i-^(B-HAB)î-+-(G -h AG)«]'
d'où l'on tire
1 v^KAf/B — BrfA)2
Pour transformer cette expression, considérons le déterminant
On sait que donc
on aurait de même B, G et B', G'. Les propriétés des déterminants adjoints donnent ces identités :
