Coordonnées homogènes. — Nous poserons

et nous conviendrons de ne donner à X, Y, Z, T que des valeurs finies et, en outre, de ne jamais supposer X, Y, Z, T nuls tous les quatre. Dans ces conditions, à chaque point M correspond un système unique de valeurs des coordonnées x, y, z ou un système de valeurs de X, Y, Z, T proportionnelles à quatre nombres déterminés, car si ^ ^ «, jK = ^, ^ = c, on pourra écrire

et, réciproquement, si X = ).«, Y =z\b^ Z = Xc, T = \d, ces équations déterminent un seul point ayant pour coordonnées cartésiennes -j» -,i -,• Nous dirons que X, Y, Z, T sont les coordonnées homogènes du point M. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un point (X, Y, Z, T) soit à l'infini est T = o.

Si l'on donne deux points M, (X,, Y,, Z,, T,), M2(Xo, Yo, Zo, To),

les coordonnées du poinl qui j)arlage le segment Mj M^ dans le rapport — A sont données par les formules

Xi-t-(xXj Yi-hjxVj Z,-h[jiZ2 Ti-h [iTz

|JL étant défini par l'équation [x = ). ^r'

On peut donc dire que les coordonnées homogènes de M sont Xi-h^iXi, ï,-H|i.Y2, Z1-+-1J.Z2, Ti-i-;xT2.

l^orsqu'on donne à [x toutes les valeurs réelles de — 00 à + ao, le point M décrit la droite M, Mo tout entière; en particulier, si [x = o, le point M coïncide avec M), et si [x est infini M coïncide avec M-^.

Si l'on considère un nouveau point M' correspondant à une valeur fx', le rapport anharmonique (M, M 2 M M') a pour valeur --, ;

les quatre points forment donc une division harmonique si tx'= — tx. Il importe de bien se rappeler que, si l'on fait une même combinaison homogène et linéaire des quatre coordonnées de deux points M,, M2, savoir