COURBES GAUCHES. II

7. On considère sur une courbe gauche cinq points M, Mj, Mj, M3, M4 correspondant à t, t-i- hi, t-^- Aj, t -\- ht, t -^- h^; on suppose que hi, A„ h^, h^ soient infiniment petits et l'on demande d'étudier l'ordre infinitésimal du tétraèdre M, MaMsMi.

— On remarque que le déterminant

(la première ligne étant seule représentée dans cette notation, les trois autres s'en déduisent en remplaçant hi par h^, h^ par h^) est égal au produit des déterminants

hy li\ 1^

li^ h\ }i\

I 2 6 /»4 hl h'I

ff

On trouve ainsi, en négligeant les puissances des accroissements supérieurs à la troisième,

X (hi—hiJi/ii—hs) (hi—h^){fi.2—h^)(hi—hi)(h3—h^)

P désignant le produit des différences des accroissements h deux à deux. (Cours de M. G. Darboux, à la Sorbonne.)

8. Une droite AAi se déplace, ses extrémités décrivent deux courbes; soient AT et AjTj les demi-tangentes aux trajectoires de A et Ai, décrites chacune dans le sens du mouvement : prouver que

rf.AAj = — rfi.cosTAAi — dsi .cos AAiTj.

— Il suffit de différentier l'expression

a» = (t — ar, )« -+- (jK — 7i )* H- (2 - -1 )» ;

on peut aussi donner une démonstration géométrique.

9. En désignant par A le déterminant formé avec les dérivées premières, deuxièmes et troisièmes des coordonnées d'un point d'une courbe par rap-

r l8 CHAPITRE VI.

port à l'arc s, prouver que

10. Démontrer les relations suivantes, les dérivées étant toujours prises par rapport à s :

Sx'x"' = - ^-,

bX 37"= — 777

Ri R^t2 ■ RVR

le signe S indiquant que la somme doit être étendue aux trois coordonnées ( notation de Lamé); ainsi Sx'x'" — x' od" -\- y' y'" -^ z' z'" .

il. On considère une sphère ayant pour équation

on écrit qu'elle rencontre une courbe définie parles équations a; =/(*), y = ©(*), ^ = '^{s) {s étant la longueur de l'arc AM, A désignant un point fixe pris sur la courbe et M le point variable {x, y, z)} en quatre points confondus en un seul (sphère osculatrice); pour cela, on égale à zéro la fonction

et ses trois premières dérivées. En déduire les formules

^ I ^A ^ I rfB . i dC

'' L ds ' \ ds ^ A ds

A, B, C étant les coefficients de l'équ-ation du plan osculateur, et

p2A2= (cv'^-+-y'^-^z'^-)(x"'^-hy"'^--hz"'^) — {x'x"'-i-y'y"'-+-z'z"'y.