Prouver que

13. Si l'arc est pris pour variable indépendante, les coordonnées du centre de courbure sont

COURBES (iALCHES. I I9

on déduire, en posant la formule

14. La partie principale de la distance d'une des exlrciuiiés d'un arc infiniment petit s au plan osculateur correspondant à l'autre extrémité a pour

mesure ^r^-' (O. Bonnet.)

15. La partie principale de la plus courte distance des tangentes aux e\-

trémités d'un arc infiniment petit est égale à — ^ (O. Bonnet.)

( Voir, pour les questions 9 à 15, le Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, de M. Ch. Hehmite; Paris, Gauthier- Villars.)

16. Prouver que, si a, p, y sont les angles que la tangente à une courbe en un point M fait avec trois axes rectangulaires, a', P', y' ceux que la normale principale en M fait avec les mêmes axes, et a", P", y' ceux de la binormale, on a

rfcosa' rfcosS' d co^Y '^^ • ^

dcosx dcos^ rfcosy di t

(0 désignant l'arc décrit sur la sphère de rayon i par l'extrémité du rayon parallèle à la binormale; d'où il résulte que la tangente à la courbe sphérique décrite par l'extrémité d'un rayon parallèle à la tangente est parallèle à la tangente à la courbe sphérique décrite par l'extrémité d'un rayon parallèle à la binormale, et la direction commune est celle de la normale principale. (J.-A. Seruet, Frenet.)