Les équations

X = a -i- bt-^ct^, y = a'-\- b't-hc't^, z — a' -\- b" t -h- c' t^

représentent une parabole. Trouver les coordonnées de son sommet, de son foyer, la direction de son axe, etc. Étudier les vecteurs ayant pour composantes

dx dy dz d^x d^y d^z

dJ' dt' dt ^' Itt** It^' "dli'

136. Soit f[x^y'^ ^) = o l'équation d'une surface S. Nous allons prouver qu'en tout point M(^05 JJ^o? ^o)» pour lequel l'une au moins des trois dérivées fx^^fy^-, f-^ est différente de zéro, les tangentes à toutes les courbes passant par Met tracées sur cette surface sont dans un plan qu'on nomme le plan tangent e/z M. En effet, une courbe tracée sur la surface S peut être considérée comme étant l'intersection de cette surface et d'une autre surface S'; elle est donc définie par deux équations

ff(x,y, z) étant seulement assujettie à la conditiony, (xo,JKo7-5o) = o• Les équations de la tangente à cette courbe, au point M, sont

(^ "«>io^^^ ^'^ày,^^' -)/o =

Or, quelle que soit la fonction ft , la droite représentée par ces deux équations est dans le plan défini par l'équation (i); ce qui démontre la proposition.

Il résulte de là que le plan tangent en un point est déterminé quand on connaît les tangentes à deux courbes qui passent par ce point et sont tracées sur la surface.

137. Autres /ormes de V équation du plan tangent. — i° Si l'on rend l'équation de la surface homogène, en posant

on vérifiera, comme pour l'équation de la tangente à une courbe

plane, que l'équation du plan tangent au point (xq^ yo^ -07 '0) peut

s'écrire

àf àf df <if

dxQ '' oyçi ozq ato

2° L'équation /(.Tjj', z) = o définit z comme fonction de a- et

de^. Si l'on pose

dz dz

on a

df àf df df

On obtient en effet ces deux équations en annulant la dérivée de /(ar,^, s) par rapport k x, y conservant une valeur constante, puis de même, la dérivée de f{x,y,z) par rapport k y, x demeurant constant. Gela étant, en représentant par de grandes lettres les coordonnées courantes, l'équation du plan tangent au point {x, y, z) étant

(X-.,|H-(Y-^,|H^(Z-.,lf = „.

si l'on élimine ■— el -^ entre les trois équations précédentes, on obtient ox oy -x V

Telle est la seconde forme que nous voulions donner à l'équation du plan tangent.

138. Autre définition du plan tangent. — Menons par le point {x,y, z) d'une surface un plan quelconque; la distance du po\nt{x-i-\x,y-i-\y, ^-t-As) à ce plan a pour mesure, en supposant pour plus de simplicité les axes rectangulaires,

A^r^- B^A£j-CA£

Si nous regardons z comme fonction de x et dey, en supposant \x et A^ infiniment petits du premier ordre, \z sera aussi du premier ordre. Or, on a

les termes suivants étant du second ordre; la distance considérée sera donc du second ordre si l'expression

(X-\-pC)\T-h{B-hgC)iky

est identiquement nulle, c'est-à-dire si A = — pC, B = ^— qC; l'équation du

122 CHAPITRK Vil.

plan cherché est alors

— pC(X — x) — gC(Y—y)-i-C{Z — z) = o.

On retrouve ainsi l'équation du plan tangent en M{cc, y,z); on peut donc définir ce plan tangent : un plan tel que la distance à ce plan d^ un point situé sur la surface à une distance de M infiniment petite du premier ordre soit infiniment petite du second ordre au moins.

139. Autre méthode pour former V équation du plan tangent {applicable aux coordonnées tétraédriques) . — Soit f^x^^y^^z^ t) = o réquation d'une surface que nous supposerons algébrique et de degré m. Soient x,y, z, t les coordonnées d'un point A de cette surface, et X, Y, Z, T les coordonnées d'un point quelconque M. Les coordonnées d'un point quelconque P appartenant à la droite AM sont de la forme ^ -h }.X, j + )vY, ;ï + XZ, t + ).T; pour que P soit un point commun à la surface /et à la sécante AM, il faut et il suffît que X soit l'une quelconque des racines de l'équation

/(^ + XX,jK-f->.Y, ^-i-XZ, ^-i-XT) = o.

Cette équation étant du degré m en X, le nombre de points d'intersection est égal à m; il y aura autant de ces points confondus avec le point A que l'équation précédente aura déracines nulles; or, si l'on développe le premier membre par la formule de Taylor, on obtient l'équation

Le terme indépendant de X est nul, puisque le point A appartient à

la surface. Si l'une au moins des quatre dérivées-^? -r^j -^j -^ n'est

^ ox oy oz ot

pas nulle, on voit que, si X, Y, Z, T ne vérifient pas l'équation

dx dy àz dt '

c'est-à-dire si la droite AM n'est pas dans le plan défini par cette équation, cette droite rencontre la surface en un seul point confondu avec A et en w — i autres points; au contraire, dès que le point M vient se placer dans le plan précédent, l'un au moins de ces m — I points vient se confondre avec A et, par suite, une telle

l'LANS TANGKSTS. 123

sécante a au moins deux points communs avec la surface/ confondus en A; on dit alors que cette droite est tangente à la surface, et l'on voit que, dans l'hjpolhèse où nous nous sommes placé, le lieu de toutes les tangentes en A à la surface /est un plan défini par l'équation précédente : ce plan est le plan tangent en A. Toute droite issue de A, et non située dans ce plan, ne rencontre la surface /qu'en un seul point confondu avec A; on dit alors que le point A est un point simple. Nous sommes ainsi parvenu à ce résultat : en tout point simple d'une surface algébrique il y a un plan tangent, défini par l'équation écrite plus haut.

Si les quatre dérivées du premier ordre sont nulles au point A, on voit que toute sécante issue de A rencontre la surface /au moins en deux points confondus avec le point A, puisque les deux premiers termes de l'équation en X que nous avons considérée sont nuls. On dit alors que le point A est un point multiple de l'ordre p, si la première des dérivées partielles de la fonction/qui ne s'annule pas, au point A, est d'ordre p. Dans ce cas, on appelle tangente en A toute droite issue de ce point qui rencontre la surface en />-+- i points au moins confondus avec A, et l'on obtient l'équation du cône formé par toutes les tangentes en égalant à zéro le coefficient de 1p, ce qui donne l'équation symbolique

ox oy Oz "U p

Si /> = i, cette équation développée est la suivante :

le signe Q indiquant que la somme doit être étendue à toutes les coordonnées.

140. On démontrera, au moyen de la niéthode suivie en Géométrie plane (t. I, p. 353), que si a, p, ..., X sont des fonctions linéaires des coordonnées T,jr, z prenant les valeurs a,, ^j, . . ., Xi au point M(a:i,;'i, zi), le plan tangent en M à la surface ayant pour équation /(a, p, . . . , X) = o sera défini par l'équation

et si a, p, . . . , X sont des fonctions linéaires et homogènes de x, y, z, t et que l'équation /(a, 3, ..., X) = o soit elle-même homogène par rapport à a, p, ..., X, l'équation du plan tangent sera

c/ai ' api aXj

141. Plan tangent à C origine. — Si une surface passe par l'origine des coordonnées, on obtiendra l'équation du plan tangent ou, plus généralement, l'équation du cône des tangentes à l'origine, en égalant à zéro l'ensemble des termes du plus bas degré dans le premier membre de l'équation de la surface , mise sous forme entière.

Soit

Oi{x, y, z) -^r ^i{x, y, z) ^ . . . =o

l'équation de la surface considérée, ^^(x, y, z) désignant l'ensemble homogène des termes de degré/?. Les équations d'une droite issue de l'origine étant

le point ayant pour coordonnées ao, |3p, yp sera sur la surface si p est racine de l'équation y(ap, '^jo^^o)=: o, c'est-à-dire

Cette équation a une racine nulle et une seule, si cp, (a, [^, v) ^ o. Une seconde racine sera nulle si '-pi(a, [3,y)^o; c'est-à-dire si la sécante est dans le plan ayant pour équation

Oi{x,y,z) = o.

Ce plan est le plan tangent à l'origine.

Si cp, (x, y^ z) est identiquement nul, l'équation en p a au moins deux racines nulles, quelles que soient les valeurs de a, |^, y; et, dans ce cas, toute sécante issue de l'origine coupe la surface en deux points au moins confondus avec l'origine; si le polynôme <p2(^, y, z) n'est pas identiquement nul, on voit que l'ensemble des droites ayant plus de deux points communs confondus avec l'origine est représenté par l'équation

Et ainsi de suite. La proposition est donc démontrée.

142. Intersection d'une surface par son plan tancent en un point simple. — Prenons pour plan des x, y le plan tangent en un point simple d'une surface, l'origine étant le point de contact. L'équation de la surface

PLANS TANGENTS. 12a

sera do la forme suivante :

Z = ax^-h ^bxy-h cy^ -+- 2 dxz -+- 2 eyz -h/z^ -)-...,

chacun des termes non écrits étant de degré 3 au moins. L'équation de la courbe d'intersection de la surface par le plan des x, y est, dans ce plan,

o = ax^ -f- ihxy -h cy- -+-....

Cette intersection a donc un point double à l'origine.

En particulier, si la surface est du second degré, elle est coupée par son plan langent en un point simple, suivant une conique ayant un point double en ce point, c'est-à-dire suivant deux droites.

On vérifie, par exemple, qu'une sphère est coupée par son plan tangent en un plan quelconque, suivant les deux droites isotropes issues du point de contact.

Considérons une surface de degré supérieur au second et supposons que les tangentes au point double de la section par le plan tangent soient réelles; prenons ces tangentes pour axes des x et des j'; l'équation de la surface étant alors

s = 2 hxy -t- 2 dx z-\- -i. eyz -\- f z"- -f- . . . ,

si l'on coupe cette surface par le plan xOz, la section obtenue aura pour équation, dans ce plan,

z ^^ idxz -^fz- -r-. . . ;

on voit que l'origine est un point d'inflexion, la tangente d'inflexion étant l'axe des :f, c'est-à-dire celle des tangentes à la section par le plan tangent par laquelle on a mené le plan sécant.

143. Remarque. — Si une droile issue d'un point A est tout entière sur une surface, le plan tangent en A contient cette droite, car si X, Y, Z, T sont les coordonnées d'un point quelconque de cette droite et x^ y, z, t celles de A, on a par hypothèse

f{x -hl\,y-hlY,z-^-lZ,t-^n) = o,

quelle que soit la valeur de "X; donc les coefficients de toutes les puissances de X sont nuls et, en particulier,

Ox oy Oz ôt

de là cette conséquence : si un plan coupe une surface de second degré suivant deux droites, il est tangent à cette surface au point de rencontre de ces deux droites, pourvu toutefois que ce point soit un

point simple. Ainsi, la conclusion serait en défaut pour un plan passant par le sommet d'un cône du second degré.