Rayons de courbure principaux. — Soit
z = ax^ -^ % bxy -\- cy^ -h. . .
l'équation d'une surface, l'axe des z étant la normale à l'origine et le plan xOy le plan tangent. L'équation
ax- 4-26 xy -+- cy^ = 1
étant celle d'une conique ayant pour centre l'origine, on peut supposer que les axes Ox et O^ soient les axes de symétrie de cette conique; alors l'équation de la surface aura la forme
z = ax^-^ cy^ -H. . . .
La section par le plan y = o a. pour équation
z = ax- -^ . . . .
Le rayon de courbure Ri de cette section a pour mesure j, ; mais
au point O, ;:'= o, 5" = 2«; donc Rj = — - ; de même R2 étant le rayon de courbure de la section normale menée par Oy, on a
L'équation de la surface peut s'écrire
^ = -TT- a-2 -+- -— r^ -H
Cela étant, si l'on fait un changement de coordonnées en posant
X = x' cosa — ^' sina, y =■ x' ?,'\noL -{- y' cosa,
l'équation deviendra
cos^a sin^aX ,„ sinacosa , , /sin^a cos^a
^ = i,^rRr-^TR7r--^ -K7Rr"-^^v^i^^TR7;'>'
et l'on voit que les rayons de courbure R' et R" des sections normales rectangulaires j^'=o et 2' = o sont déterminés par les équations
d'oii l'on lire
H"' "^ ÏF' ~" ÏÏ^ "^ ÏÏ^*
La somme constante ■^, -1- ^ se nomme la courbure moyenne au point con'sidéré, Ri et Rj sont les rayons do courbure principaux en ce point.
Application au second degré.
Ii5. Considérons d'abord une splière
(X — rt)»-^(Y — *^î-4-(Z- c)2— K2 = o.
Le plan tangent au point {x, y, -) a pour équation
{\ — a){ T — a) -\- (\ — h ) {y — b) -ir {'/. — c) i z — c ) — W- = o, en supposant remplie la condition
{x — ay- -r- (y — bf -\- (z — c)^ — R* = o.
On vérifie ainsi que le plan tangent est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact.
Soit, en second lieu, une surface de second degré quelconque
A J"2 -•- A' r- -H A" ;;- -f- 9. B^- -f- 2 B' 5J7 -+- ■>. W xy
-\- i Q.X -f- 2 QJy -h 2 C c: -(- D = o ;
le plan tangent au point (,r, j', z) appartenant à celte surface a pour équation
AXa:-+- k'Y y -\- K-Zz ^'B{yZ -^ zY) ^W ( z\ -^ xl) ^W {x\ ^ y\)
146. Exprimer qu'un plan est tangent à une surface. — Cas du second degré. — Soit
(i) «X-f-cY-4- (rZ -+-rT = o
l'équation d'un plan. Pour que ce plan soit tangent à une surface ayant pour équation
il faut et il suffît qu'il existe un système de valeurs de x^ y^ z, t vérifiant l'équation (2), et telles que l'équation
ox oy oz ôt
soit identique à l'équation (i). On obtiendra la condition demandée en éliminant ^, jk, z, i, "k entre l'équation (2) el les équations
^-^ -lu
dy ' dz ' dt
Dans certains cas, on trouve deux équations de condition (surfaces développables).
Dans le cas du second degré, en remplaçant \ par 2)., nous obtenons les équations du premier degré
kx -f- Wy -+- h'z -4-Gf —\u = o, B"x-\- A'j -f-B^ -+-Ct — \v =0, ( B'x + B/ + A"^ + G" ^ — X «^ = o, Cx -{- C'y -h C"z H- Df — Xr =0, ux -^- vy -t- wz -V- rt =0.
La dernière de ces équations remplace l'équation (2); en effet, celle-ci pouvant s'écrire
df df df df
dx
ôz
dt
on peut y remplacer les dérivées par des quantités proportionnelles
La condition demandée est donc
Nous représenterons par — F(m, <p^w, r) le déterminant précédent; on a
F(a, V, w, r) = au^+ a'i''^+ a"w^-i- dr^-\- ibvw -\- ib' wu -^-ib" uv
-k- 2cur-i- 2c'vr-\- 2 c" wr,
«, «', ..-, c" étant les mineurs du discriminant H de la forme f {x,y^ z, t). Nous supposons H^ o.
L'équation F{u, v, w, /•) = o se nomme V équation tangentielle de la surface représentée par f{x^ y, z, t) =z o en coordonnées ponctuelles. Les coordonnées homogènes du point de contact du j)lan (w, V, IV, r) tangent à cette surface sont
dF du
dv ■
dF
dF
comme on s'en assure en résolvant le système (4).
147. Exprimer qu'une droite est tangente à une quadrique. — Soient
ux -+- vy -i- wz -+- rt = o, u'x -+- v' y -^ w' z -\- r' t = o
les équations d'une droite. Si cette droite touche la quadrique en un point M(a7, y, z, t), l'équation du plan tangent en ce point doit être de la forme
( X a -4- ixu')x -\- ( X c + y^i'')y -h{lw -h iiw')z -\- (Xr -h ixr')t = o;
on doit donc pouvoir déterminer X, [x, x,y, z, t, tels que
A.X -+- B"j + B'^ -+-G;=Xa-+-{Jia', B''x-\- A'y-hBz 4- G'ï = Xt^ -H (ji(^',
B'x + B j -i- A."z -h G'7 = X w -f- [JL w', Cx -f- G'7 -t- G"^ +D^ —Ir -h n r', ux -+- vy -+■ ivz -h rt = o, u'x -h v' y -+- iv' z H- r' t = o,
et réciproquement, si ces équations sont vérifiées, la droite donnée passe par le point {x, y, z, t) et se trouve située dans le plan tangent en ce point; elle est donc tangente. La condition demandée s'obtient en éliminant x,y, z, t, X, (JL entre les équations précédentes; on obtient ainsi
148, Mener par une droite un plan tangent à une quadrique. — Soient
(«, V, w, r), {u', v', w', r') NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 9
l30 CHAPITKE VII.
les coefficients des équations de deux plans passant par la droite, c'està-dire les coordonnées tangentielles de deux plans menés par cette droite; un plan passant par l'intersection des deux premiers a pour coordonnées tangentielles
M-f-Xa', p-hXp', w-^-lw', r + lr';
ce plan sera tangent si X est racine de l'équation
¥(ii -i-Xu', t'-f-Xp', w-\~'kw', /• -!- X/"') = o.
Il y a donc deux plans répondant à la question.
En exprimant que ces deux plans sont confondus en un seul, on obtient la condition pour que la droite donnée soit tangente à la quadrique, sous la forme
dF ,dF ,dF ,dFY
/ ÔF ,dF
^ \ du dv
dw dr )
149. Équation du cône des tangentes à une surface, issues d'un point donné. — Soient S(:ro, ^l'o) ^oj ^o) un point donné et f{x, y, z, t) = o l'équation d'une surface. Soient x, y, z, t les coordonnées d'un point M; on sait que, pour déterminer les points de rencontre de la droite SM et de la surface y, il suffit de résoudre l'équation
f{xo+'kx, yç)+\y, z^i^Xz, tQ+Xt) = o;
on exprimera que SM rencontre la surface en deux points confondus en écrivant que cette équation en X a une racine double; l'équation représentera le faisceau des tangentes issues de S. Si la surface est du second degré, l'équation précédente pourra s'écrire
/o-i-XP + XV=o,
df df df df df
oxq oyQ ozq (Jto ox
en posant
et l'équation demandée est
Le lieu des points de contact est déterminé par le système formé par l'équation précédente et par l'équation y ^ o, c'est-à-dire par le système y = o, P = 05 la courbe de contact est donc plane. Si l'on représente par T =: o le plan tangent à la surface f en un point M, [x^ ^ytj Zf, tf), et par P, ce que devient P quand on j remplace les coordonnées courantes par les coordonnées de M|, on voit que le plan tangent au cône en M| a pour équation
