T-PP

PLANS TANGENTS. l3l

Celle équalion se réduit à T =: o, si le point M, est sur la courbe (le contact.

Donc, le cône formé par les tangentes issues de M est tangent à la quadrique tout le long de la courbe de contact, ou, comme on dit, il lui est circonscrit. Le plan de la courbe de contact se nomme le plan polaire du point S.

loO. Equation du cylindre circonscrit {(ont les génératrices sont parallèles à une direction donnée. — Soient a, |3, y les paramètres de la direction donnée et x, y, z les coordonnées cartésiennes d'un point; une droite issue de ce point est définie par les équations

on exprimera que cette droite est tangente, c'est-à-dire qu'elle rencontre la surface / en deux points confondus, en écrivant que l'équation

/(ar-f-ap, JK + ^p, z -^- yp) = o

a une racine double.

Supposons que la surface soit du second degré et soit o(x,y, z) l'ensemble homogène des termes du second degré ; l'équation en o est alors

?-?(«, ?, ï) -+- ? (^ 'j^ + P ^ + T ^) +/(^, r, z) = o; l'équation du cylindre demandé est donc

4/(:r,j,.)cp(a,?,Y)-(«^+?^5^Y;|{)'=o.

On vérifie, comme plus haut, qu'en chacun des points de la courbe des contacts, qui est plane, le plan langent au cylindre est le même que le plan tangent à la quadrique.

Remarque. — Si l'on suppose que le point S(j:o, j'o? ^o? 'o) disparaît à l'infini dans la direction a, P, v l'équation du cône circonscrit de sommet S devient, à la limite, celle du cylindre circonscrit parallèle à la direction (a, ^, y); c'est ce que l'on voit immédiatement en remplaçant ^o) JKo) -o para, (3, y et ^o par o dans l'équation du cône.

Normale à une surface.

151. On nomme normale en un point M d'une surface la perpendiculaire menée, en ce point, au plan tangent au même point.

Si les axes sont rectangulaires, la normale au point M(5:,jk, z) à la surface définie par l'équation f[x^y^ 5) ^ o a pour équations

fy~A'

Le point M se nomme le point d' incidence ou le pied de la normale.

Les pieds des normales issues d'un point (^oîJKo? ^0) sont à l'intersection de la surface donnée et de la courbe définie par les équations

a!o — x yo — y z^ — z^

Plan tangent à une surface définie à l'aide de deux paramètres.

152. Soit F(a7, y, z^ —o l'équation d'une surface S; on peut dire que cette équation définit z comme fonction des deux variables indépendantes x ç,x,y\ or, on peut faire un changement de variables et poser

u et V désignant deux nouvelles variables indépendantes; alors z pourra aussi s'exprimer en fonction de u et p, et l'on aura, pour définir les points de la surface donnée, le système

a^=f{if',v), y=fv{u,v), z=f2(u,v).

Réciproquement, un pareil système définit- en général une surface; supposons en effet, par exemple, que les deux premières équations déterminent u et p en fonction de a? et dey; ^ est alors une fonction de a? et de y. On obtiendrait d'ailleurs l'équation de la surface en éliminant uetv entre les trois équations données.

Gela étant, supposons qu'à chaque système de valeurs attribuées à u et v corresponde un point M; on demande l'équation du plan tangent en M à la surface que décrit ce point quand u et v varient.

Si l'on remplace v par une fonction de u et que l'on fasse varier u, le point défini par les équations précédentes décrira une courbe tracée sur la surface S et les équations de la tangente au point (u, v) seront

' X — x y —y Z — z du dv du âv du dv

OU, en introduisant un paramètre variable X,

X^X^-X.'^=o, ou ov

du

Y-r-XS-X.'^==o,

ùv

du Ov

En éliminant X et \v', on voit que la tangente considérée est dans le plan défini par l'équation

àA à/i du dv

^-Mu,^^ t f

Il convient de remarquer que cette équation disparaît si, pour un point M (m, v), les dérivées partielles par rapport à l'un des paramètres sont nulles toutes les trois, ou encore si les dérivées partielles par rapport à u sont proportionnelles aux dérivées par rapport à v.

Dans ce cas, les équations (i) représentent toujours la même droite, sauf si

àf

du dv du

dv du dv

df df\ dfv ,.~, , . , , . , ,

alors, en supposant —-? 4— > -f- différents de zéro, les équations de la tan- '^'^ dv dv dv

gente sont

d''/ à-f , dH „ df „ du^ dudv dv^ dv

On en déduit, pour l'équation du plan tangent,

du^ dudv dv^

dv

en n'écrivant que la première ligne du déterminant.

On peut arriver à l'équation du plan tangent par un procédé très simple. Soit ¥{x,y, z) = o l'équation de la surface; regardons x, y, z comme fonctions de u et V, et différentions par rapport à a, puis par rapport à f , ce qui

donne

d¥df àF àfi

dx du dy du

dF df àFàA dx dv dy dv

dF dh dz du

dz dv ~°'

l34 CHAPITRE VII.— PLANS TANGENTS.

l'équation du plan tangent étant

, „ ,,. . dF aF £)F , . , .

il ne reste plus qu a éliminer -r- •> -^ ■> -— entre les trois équations précéda; o/ c;^

dentés.

On voit que, si les dérivées partielles par rapport à u sont proportionnelles aux dérivées par rapport à v^ c'est-à-dire si la courbe ii = const. est tangente à la courbe v = const., on ne peut déterminer les rapports de

dF aF dF . ., , . ,, . ,

j- > -r— et -r— ; mais u ne s ensuit pas que ces dérivées soient nulles et, par

suite, on ne peut pas en conclure que le point considéré (a, v") soit un point singulier de la surface.

EXERCICES

1. Deux surfaces ont, en général, un certain nombre de points communs pour lesquels les plans tangents font un angle donné. En particulier, deux sphères quelconques sont orthogonales en tous les points du cercle de l'infini.

2. Exprimer que deux surfaces sont tangentes en un point. Ce problème, qu'on peut considérer comme cas particulier du précédent, en diffère notablement. Application à deux sphères.

3. Exprimer qu'une surface et une courbe se coupent sous un angle donné.