Soient

(i) f{x,y,z,a) = o, fi(x,y,z,a) = o

deux équations renfermant un paramètre arbitraires. A chaque valeur Oo de a correspond une courbe définie par les équations

(2) f{x,y,z,ao) = o, /i(x,y, z, ao) = o.

Si a varie d'une manière continue, la courbe considérée se déforme et se déplace; elle engendre un lieu dont on obtient l'équation en éliminant a entre les deux équations (i). En effet, soient ^o> yoi ^0 les coordonnées d'un point M de la courbe Go définie par les équations (2); on a

/(a^cJKo, ^0, «0) = 0, f\{cco,yo,ZQ,ao) = 0;

par conséquent les équations

(3) f(xo,yo,zo,a) = o, /i(:ro,7o, ^o, «) = o

ont au moins une solution commune : «o j donc, si nous savons former la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (3) en a aient au moins une solution commune, on aura

et, par suite, tout point M du lieu est sur la surface ayant pour équation

Réciproquement, soit M{a:Q, yo^ ^0) un point de cette surface; ses coordonnées vérifiant l'équation (4), les équations (3) ont au

f36 CHAPITRE VIII.

moins une solution commune «o et, par suite, le point M est sur une courbe définie par les équations (2); le point M est donc un point du lieu.

154. 11 y a lieu de faire ici une remarque analogue à celle qui a été faite pour la recherche des lieux géométriques en Géométrie plane.

Pour qu'un point M(^o,yo, ^0) de la surface trouvée fasse partie du lieu, il peut arriver qu'il soit nécessaire que les équations (3) aient au moins une solution commune «o satisfaisant à certaines conditions; par exemple, cette solution «o devra être réelle et, en outre, comprise entre certaines limites. Si ces conditions ne sont pas remplies, certaines parties du lieu trouvé pourront être des parties parasites.

On voit encore que^ si l'une des surfaces représentées par l'équation (i) passe par un point fixe, ou contient une courbe fixe, ce point ovi cette courbe feront partie du lieu trouvé.

Cas de plusieurs paramètres.

155. Il arrive souvent que les équations de la ligne mobile renferment plusieurs paramètres. Supposons que le nombre des paramètres variables soit n\ dans ce cas il faudra assujettir, en général, ces paramètres k n — 1 relations.

Soient, par exemple, les équations

f {x,y,z,ai,ai, . ..,aa) = o, /l(^)7,^i <^t, «52, . • -, <^«) = o,

Cp2 («1, «2) • • -, CLil) = O,

On obtiendra l'équation de la surface engendrée par la courbe génératrice définie par les deux premières équations, en éliminant les n paramètres a,, «27 .."a,i entre les /i + i équations précédentes. Nous avons déjà fait plusieurs fois le raisonnement qui convient à ce genre de questions ; il est inutile de le reproduire une fois de plus.