LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Génération d'une ligne.

156. Supposons qu'un point M.[x,y, z) appartienne à trois surfaces, dont les équations

renferment un paramètre variable a, on aura l'équation du lieu engendré par le point M, en éliminant a entre ces trois équations; ce qui donnera, en général, deux équations

f{^,y:S) = o, fi{x,y,z) = o;

le lieu de M sera donc une ligne.

D'ailleurs, si l'on résout le système proposé, on peut en tirer

et nous savons déjà qu'un pareil système représente une courbe.

157. Cas général. — Il peut arriver, d'une manière tout à fait générale, qu'on ait à chercher le lieu décrit par un point dont les coordonnées vérifient n -h i équations renfermant n paramètres

Fi(ar,^, s, ai,rt2, „ .,rt„) = o, ¥i{x,y,z, ai, a., an) = o,

Fn+i{^,y, 3,ai,ai ...,an) = o ;

l'équation du lieu s'obtiendra encore en éliminant «i , «o» • • •? <z„, entre ces n -f- 1 équations; on aura ainsi une équation unique, en général, représentant une surface.

S'il y avait n -\- 2 équations, en éliminant les n paramètres, on obtiendrait deux équations entre x,y, z, et le lieu serait une ligne.

Il est superflu d'ajouter que, si l'on donnait autant d'équations qu'il y a de paramètres, tout point de l'espace pourrait convenir; car, si l'on attribue k x, y, z des valeurs particulières .To, yo, Zq, on aura n équations pour déterminer n inconnues a,, a-i-, . . - , ««. Cependant, dans certains cas, il peut se faire que l'élimination des paramètres soit possible, mais alors au résultat de l'élimination correspond un théorème et non plus un lieu géométrique.

l38 CHAPITRE VIII.

158. Directrices. — Supposons qu'il s'agisse de trouver l'équation de la surface engendrée par une courbe dont les équations renferment deux paramètres a, h. Pour que la courbe engendre une surface, il est nécessaire que les paramètres a Ql b soient liés par une équation; on obtient ordinairement cette équation en exprimant que la génératrice est assujettie à rencontrer une courbe fixe, qu'on nomme directrice.

Soient

(G) f{x,y,z,a,b) = o^ fi{x,y, z, a, b) = o

les équations de la génératrice, et

les équations de la directrice. Pour exprimer que ces deux courbes se rencontrent, il faut écrire que ces quatre équations en x, y, z ont au moins une solution commune, c'est-à-dire éliminer x^y^ z entre ces équations. Ou obtiendra ainsi une équation de condition

et il n'y aura plus qu'à éliminer a el b entre cette équation et celles de la génératrice.

Plus généralement, si les équations de la génératrice renfermaient n paramètres, il faudrait n — i directrices pour que la courbe mobile pût engendrer une surface; à chaque directrice correspond , en effet, une relation entre les paramètres.

Nous allons maintenant donner quelques exemples.

159. Étant données une sphère S et une droite A, on demande le lieu des sommets des cônes circonscrits à la sphère suivant les courbes d'intersection de cette sphère et des plans menés par la droite donnée.

Prenons pour origine le centre de la sphère, l'axe des z étant parallèle à la droite donnée, l'axe des x étant la perpendiculaire abaissée du centre sur cette droite, et enfin l'axe des y étant perpendiculaire aux deux autres axes. Les équations de la sphère et de la droite sont

Un plan mené par A a pour équation (i) X — « + XY = o.