LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Soient X, y, z les coordonnées du sommet du cône circonscrit à la sphère S le long du cercle suivant lequel elle est coupée par ce plan; le plan de la courbe de contact a pour équation {M^)

(2) Xa^ + Yj + Z:;— R2=o.

Identifions les équations (i) et (2), ce qui donne

Les équations du lieu s'obtiendront en éliminant X entre les équations (3); on trouve ainsi

Le lieu est donc une droite Ai facile à construire; mais, si l'on ne considère que des figures réelles, la droite tout entière ne convient pas nécessairement au lieu; il faut en effet que le cercle, intersection du plan (i) et de la sphère, soit réel; pour cela, il faut et il suffit que la distance de l'origine au plan sécant soit moindre que le rayon de la sphère, c'est-à-dire que X vérifie l'inégalité

en supposant a > o; ce qui donne

Cette condition est toujours vérifiée si l'on suppose a < R ; supposons a > R ;

I -If ^ \/a^— R- ^ ^ v/«"-— R2 , , . . dans ce cas, il laut supposer X > ^ ou X < ; la droite A,

coupe la sphère S en deux points ayant pour ordonnées j' = ± — y/a- — R'^;

un point quelconque de Aj ayant pour ordonnée/ = X — , les points d'inter-

section trouvés sont ceux qui correspondent à \ = ±iJ^l__31; donc la

R portion de Ai située à l'intérieur de la sphère ne correspond pas à la définition géométrique du lieu.

160. Trouver le lieu des intersections de deux plans faisant partie de deux faisceaux homo graphiques. — Soient P = o, Q = o les équations d'une droite A; P'= o, Q'= 0 les équations d'une droite A'; un plan appartenant au premier faisceau a pour équation

P-f-XQ = o;

un plan appartenant au second faisceau

P'-hX'Q' = o.

l4o CHAPITRE VIII.

La relation homographique la plus générale étant

XX' + aX + 6X'-f-c = o, l'équation du lieu est

PP'— aPQ'— èQP'-i- cQQ' = o.

Si l'on suppose que P' corresponde à P et Q' à Q, on peut disposer des coefficients de façon que la relation homographique se réduise à X = X'; l'équation du lieu est alors

PQ'— QP'=o.

Le lieu est une surface du second degré.

Cas particulier. — Supposons les droites A, A' parallèles et les plans coi'respondants perpendiculaires; soient

x — x^ y—yç) z — zq

cc'-x^ ^ y — yx ^ z — z^

abc les équations de A et de A'; un plan passant par A a pour équation

(i) al^z — z^) — c {x — x^;) + \ lc{y —y^) — b{z — z^)\^o,

de même

(2) a(^^j)c(a7 — a7i)-hX'[c(jK— jKi) — 6(5 — ^i)] = o

représente un plan passant par A'; ces plans étant supposés rectangulaires, on doit poser

(3) c2(i-+-XX')-j-(a-Xè)(a — X'è) = o;

on aura l'équation du lieu en éliminant X et X' entre les équations (i), (2), (3). Le lieu est évidemment un cylindre circulaire droit; si l'on pose

cjo — è^o = a, «-Zo — ciPo = p, bxo— ayo — ^{,

cyi — bzi — xi, azi-^cxi= '^i, bxi~ ayi~yi,

[' équation du cylindre prend la forme symétrique

(cy — bz — ix){cy — bz — ai) -+- (az — ex — '^)(az — ex — ^i)

-h{bx — ay — y) (bx — ay — yi) = 0,

ou encore

(«2+ b^^c^''){x^-+-y''+ z^)—-(ax^ by ■+■ cz)^— (x + ai)(cy — bz)

— (?-+- ^i){az — cx) — {y-h-{i){bx — ay)-^-oi.oii-h ^'^i-hyyi = 0.

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l4l

Cylindres.

161. On nomme cylindre une surface engendrée par une ligne droite qui se déplace en s'appujant sur une directrice fixe et en restant parallèle à une direction donnée.

L'équation d'un cylindre peut toujours se mettre sous une forme remarquable. Si l'on choisit pour axe des z une droite parallèle à la direction des génératrices, l'équation du cylindre sera de la forme

mais, si Ton fait un changement de coordonnées, x et j^ se changeront en des fonctions linéaires P, Q des nouvelles coordonnées et l'équation prendra la forme

P = o, Q = o représentant deux plans non parallèles. On arrive à ce résultat directement de la façon suivante : Si l'on représente par les équations

la direction donnée, Pet Q étant deux polynômes du premier degré, les équations d'une génératrice quelconque seront de la forme

En exprimant que cette droite s'appuie sur une courbe fixe donnée, on aura une équation de condition

et l'équation de la surface s'obtiendra en éliminant «, b entre les trois équations précédentes, ce qui donne

162. Réciproquement, si P et Q désignent deux polynômes linéaires

P = ax -+- by 4- C5 -4- c/, Q = a' x -f- b'y + c' z + d'

supposés distincts, c'est-à-dire tels que l'un au moins des déter-

l42 CHAPITRE VIU.

minants ab' — ba', bd — cb\ ca' — ad soit difFérent de zéro, toute équation de la forme

représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite D, ayant pour équations P ^ o, Q = o.

En effet, supposons qu'on trace sur la surface représentée par l'équation donnée une courbe quelconque, et soient ^05 J'o? ^o les coordonnées d'un point M de cette courbe; je dis que la parallèle à D menée par M est tout entière sur la surface S; effectivement, si Po et Qo désignent ax^ + by^ + cZq -\- d el a'x^ -h b'y^ + d z^ + d, les équations de cette parallèle sont

P = Po, Q = Qo.

Pour qu'un point M' de cette parallèle appartienne à S, il faut et

il suffit que

or cela est évident, car

P'=^Po, Q'=Qo

et le point M étant par hypothèse sur S, on a

/(Po,Qo) = o.

D'ailleurs, on peut remarquer que l'équation donnée peut être regardée comme étant obtenue en éliminant les deux paramètres a, b entre les équations

163. Problème. — Former V équation du cylindre ayant pour directrice la courbe définie par les deux équations

f{^,J^z) = o, fi{x,y,z) = o

et dont les génératrices ont pour paramètres directeurs cl, |3, y.

Soient x,y^ z les coordonnées d'un point M; ce point sera sur le cylindre si la parallèle à la direction donnée, menée par M, rencontre la directrice donnée.

Les coordonnées d'un point quelconque de cette parallèle étant de la forme x + ap, jk + l^p, z + yo, il faut et il suffît, pour qu'il

LIJELX GÉOMÉTRIQUES. 1^3

en soit ainsi, que les deux équations

/(a7-4-ap,7-i-3p, 5 + Yp) = o, /i(x + tp, y -h ^p, 3 + Y?) = »

aient au moins une solution commune. On obtiendra donc J'équalion demandée en éliminant p entre les équations précédentes.

Cas particulier. — Soient

les équations de la directrice et

X = as, y = b z

celles de la direction des génératrices; les équations d'une génératrice étant

x = az-hp, y = bz-i-q,

les paramètres p, q sont les coordonnées de la trace de cette génératrice sur le plan de la directrice plane donnée \ l'équation du cylindre est donc évidemment

f{x — az,y — bz) = o.

L'équation

{x — az — x^Y -!- {y — bz—yoy- — Y{^ — o

représente un cylindre circulaire oblique.

16 i. Théorème. — Le plan tangent à un cylindre est le même en tous les points d^ une génératrice.

La proposition se vérifie facilement si l'on suppose l'axe des z parallèle aux génératrices; dans ce cas l'équation du cylindre étant

le plan tangent en un point M(a;o, ^oj ^o) de cette surface a pour équation

il est donc indépendant de la position du point M sur la génératrice j: = To, jK =J>^0' La trace de ce plan sur le plan xOy est la tangente au point (^o> J'o) à la trace du cylindre sur ce plan.

l44 CHAPITRE Vlir.

La vérification se fait aussi avec l'équation générale /(P, Q) = o. En effet, pour des points Mq, Mi situés sur une même génératrice, on a Pi = Po et Qi = Qo; or, les plans tangents en Mo et Mi ont pour équations

(P-P.)|;H-(Q-Q.)5|=o et

et ces équations sont identiques, en vertu de la remarque précédente.

165. Problème. — Reconnaître si une surface donnée est cylindrique.

On coupe la surface par un des plans de coordonnées ; supposons que la section par le plan xOy soit une courbe ajant pour équation fi^Xy y) =^ o. L'équation générale des cylindres ayant cette courbe pour directrice estf(x — az, y — bz) = o. On cherche s'il est possible de déterminer a et b, de façon que cette équation soit identique à celle de la surface donnée.

Nous trouverons une méthode plus simple pour le second degré.

Cônes.

466. On appelle cône une surface engendrée par une droite, qui se déplace en passant toujours par un point fixe nommé le sommet du cône.

Soient ^Oî^oj ^0 les coordonnées du sommet; on peut mettre les équations de la génératrice sous la forme