X.Xi-^XjX,, XiYi+XjYj, XiZi-t-XjZ,, ).,T,+ X,T

on obtient les coordonnées homogènes d'un point de la droite M, Mo. Par suite, si l'on combine linéairement les coordonnées de trois points M|, Mo, M3, on obtient

\,-^A,\,-^X3X3, X,Y,+ À2Y,-+-X3Y3, X.Z.+ X^Z. + XsZs, X.Ti-f-X^T.+ XsTj,

qui représentent un point quelconque du plan déterminé par les trois points.

Projection d'une aire plane.

29. Si l'on considère une aire plane S tracée dans un plan donné, sa projection sur un plan a pour mesure Scosa, a étant l'angle des deux plans. Il en résulte immédiatement que si par un point quelconque A on mène une perpendiculaire au plan de l'aire considérée, et si l'on porte sur cette perpendiculaire, à partir de A, un segment AB dont la longueur soit mesurée par le même nombre que l'aire S, de sorte que si l'on représente par / la longueur prise pour unité, et

par a le côté du carré équivalent à l'aire donnée, on ait AB = y"

et si enfin l'on projette AB sur la perpendiculaire menée par A au plan de projection, la projection AC du segment AB a précisément pour mesure ABcosa et, par suite, AC représente l'aire projetée. Ij'étude des projections d'une aire plane sur un plan est donc ramenée à celle des projections d'un segment de droite sur un axe.

Considérons trois plans de coordonnées rectangulaires et soient S.r, Sj, Sa les projections d'une aire plane sur les plans yOz^ zOx, xOy respectivement. Si l'on nomme a, [i, y les angles qu'une perpendiculaire au plan de l'aire fait avec les trois axes, on a

el, par suite,

ztScosa, Sy=dzScosp, S; = ± S cosy,

Soit OABC {^fig- 12) un tétraèdre dont les arêtes OA, OB, OC sont dirigées suivant les axes O^, OjK, O^; on a

donc c'est-à-dire

ABC = OAB + OBG -F OGA .

Soit OH la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan ABC. En appelant V le volume du tétraèdre, et a, 6, c les longueurs des arêtes OA, OB, OC, on a

3 V = ABC./i = OBG. a = OGA. 6 = OAB.c,

9V2 9y2 gVî 9V 2 7Î2 «2 "^ 62 ^ c2 '

Autres systèmes de coordonnées.

31. Le système cartésien n'est pas le seul système de coordonnées employé. Voici quelques autres systèmes.

Coordonnées polaires. — On détermine la position d'un point M en donnant sa distance p à un point fixe O et les angles a, [S, y que

OM fait avec trois axes rectangulaires menés par le point O. En nommant .T,y, z les coordonnées rectangulaires de M, on a, comme nous l'avons vu,

a»=pcosa, j' = pcosp, ^ = p cosy, J-2 + j*-l- 32 = pj^ cos*a -4- cos* j3 4- cos'y — 1 .

Plus généralement, on peut choisir sur un axe R'R passant par l'origine O un sens positif OR, et regarder p comme une abscisse comptée positivement si M est sur OR, néga- pjg ,3

livement si M est sur OR'. En appelant a, ^, y les angles que OR fait avec les trois axes rectangulaires Ox, Of, O-, les formules précédentes subsistent.

32. Coordonnées spliériques. — Considérons encore trois axes rectangulaires {fig- i3) et la sphère ayant pour centre l'origine et ^ pour rayon OM; soit OA la trace du plan zOM. sur le plan xOy. On pose

ÔM = p, z OM = 0, AO"^ = o,

0 étant compté de o à - et cp de o à aiï. Le point est évidemment déterminé si l'on donne p, 0, cp. On voit immédiatement que

a" = p sin 0 costf, j' = p sinO sin(f, z=:pcos6,

'j est la longitude, 0 la colatitude.