X -- Xq = a{z — z^), y—yo = b{z — Zç
Il faut que les deux paramètres a, b vérifient une équation
que l'on obtiendra, par exemple, en exprimant que la génératrice rencontre une directrice donnée, ou encore qu'elle se déplace en restant tangente à une surface donnée. L'équation du cône engendré est donc
F /^~^% .r— .ro'
\z—Zq' Z — .
ou
/(^ — a:-o, JK— JKo, z — z^) = o,
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l45
/ désignant une fonction homogène. En particulier, l'équation d'un cône, ayant pour sommet l'origine des coordonnées, est de la forme
le premier membre étant homogène.
Plus généralement, supposons que le sommet soit défini par trois équations du premier degré
en supposant que le déterminant des coefficients de x, y, z soit différent de zéro; une droite quelconque, passant par le point de concours de ces trois plans, peut être représentée par deux équations
de la forme ^
P=aR, Q = 6R;
si les paramètres «, h sont liés par l'équation de condition
l'équation du cône sera ou, sous forme homogène.
Ff;;,§)=o
167. Réciproquement , à la condition expresse que P, Q, R désignent trois fonctions linéaires de x^y^ z distinctes, une équation /(P, Q, R) =^ o, dont le premier membre est homogène par rapport à P, Q, R, représente un cône ayant pour sommet le point S, commun aux plans ayant pour équations
Effectivement, soient ^o>JKo? ^o les coordonnées du point S, et P^, Qo, Ro les résultats de la substitution des coordonnées de ce point aux coordonnées courantes dans P, Q, R; une droite quelconque passant par S a pour équations
P jQ ^ R f*o Qo Ro
Soient x^^y^^ s, les coordonnées d'un point quelconque M de
NlEWENOLOWSKI. — G. ail., III. 10
l46 CHAPITRE VllI.
la surface représeatée par l'équation donnée; on a, par hypothèse,
/(P,,Q,,Ri) = o; mais
Po Qo Ro '
donc x^ y, z étant les coordonnées d'un point quelconque de la
droite SM, on a aussi
Z - il - -?.
Pi " Qi ~ Ri et, par suite,
ce qui prouve que la droite SM est tout entière sur la surface /; cette surface peut donc être engendrée par une droite passant par S et s'appuyant sur une courbe fixe, car on peut supposer que le point M décrive une courbe tracée sur cette surface; en un mot, la surface considérée est un cône. D'ailleurs, en écrivant l'équation sous la forme
ou
on peut considérer cette équation comme obtenue en éliminant les deux paramètres a, b entre les trois équations
P = aR, Q = ^R, ¥{a,b) = o.
Remarque. — Si les polynômes P, Q, R étaient liés linéairement, de sorte que l'on eût, par exemple, R ^ aP-h ^Q, l'équation homogéne/(P, Q, R) =o représenterait un cylindre, puisqu'elle serait de la forme ç(P, Q) = o. Ainsi,
par exemple,
n'est pas l'équation d'un cône, mais d'un cylindre.
Si Q et R étaient fonctions linéaires de P, l'équation donnée représenterait un système de plans.
168. Trouver V équation du cône ayant pour sommet un point donné S(.ro, j^o? -^c ^o) Gt pour directrice la courbe définie par les deux équations
(2) fr{x,y,z,t) = o.
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l^J
Soient x^j', z, t les coordonnées d'un point M du cône cherché; les coordonnées d'un point quelconque de la génératrice SM étant
de la forme
a7-l-X.ro, J' 4- X/o, 2-(-X:;o, t-\-\t^^
pour que SM s'appuie sur la directrice donnée, il faut et il suffit que les deux équations
(3) / {x-\-\x^, y-\-\yo, z-^Izq, t-hlto) = o,
(4) /i(-^-H>^^o, JKH-Xj'o, z-hlzo, t-{-lto) = o
aient une racine commune X. On aura donc l'équation demandée en éliminant \ entre les équations (3) et (4).
En particulier, supposons que le sommet donné soit l'origine des coordonnées, c'est-à-dire supposons a^o = jKn = ^o = o; les deux équations (3) et (4) se réduisent à celles-ci :
/ (x y, z, f-h Ito) = o, /i(x,y,z, /-4-X/o) = o.
Au lieu d'éliminer )x, on peut, ce qui revient au même, éliminer t-\-'kto; il est donc évident que l'équation du cône cherché s'obtiendra en éliminant t entre les équations (i) et (2).
Application. — Soit à trouver l'équation du cône ayant pour sommet l'origine des coordonnées et pour directrice le cercle défini par les équations
(x - x,y -^ (y -yo)- ^ (^ - ^0)^ - l\' = o,
ux -{- vy -\- wz — 1 = 0.
Rendons les deux dernières équations homogènes; il suffira d'éliminer la variable d'homogénéité; ce qui donne
[x — Xq{ux -k- vy -^ w z)]- -\- [y — yQ{ux -\- vy -^ w z)Y
-r-[z — Zq{ux ->:- vy + w z)Y — K-{ux -^vy -h wzY = o, ou
xi-hy-i -+■ z^ -h {ux -^ vy -h w z)i ( xl -+-75 -+- -g — R)^
— {xxq -hyyo -h zzo){ux + vy -h »'z) = o.
169. Théorème. — Le plan tangent à un cône est le même en tous les points d^ une génératrice.
Prenons le sommet du cône pour origine des coordonnées, son
équation sera
l48 CHAPITRE VIII.
le premier membre étant homogène. Si a, [3, y sont les paramètres de direction d'une génératrice, les coordonnées d'un point quelconque M de cette génératrice seront x = ap, y = ^p, 5 = Yp. Le plan tangent en M a pour équation
ûx ay àz
'^ doc^^ d^^^ d-^-""^
cette équation est indépendante de p, ce qui démontre la proposition.
170. Reconnaître si une surface donnée est un cône. — On transporte l'origine des coordonnées en un point ^o? J'o? ^o ^t l'on cherche si l'on peut déterminer ^Q^y^, z^ de façon que la nouvelle équation soit homogène par rapport aux nouvelles coordonnées.
Surfaces conoïdes à plan directeur.
171. On appelle ainsi une surface engendrée par une droite mobile qui s'appuie sur deux directrices fixes, dont l'une est une droite, et enfin reste parallèle à un plan fixe nommé plan directeur.
Soient P = o l'équation du plan directeur donné, Q = o, R = o les équations de la directrice rectiligne donnée. Les équations d'une génératrice seront évidemment de la forme
(i) P = a, Q = èR,
a el b désignant deux paramètres variables. En exprimant que la génératrice s'appuie sur la seconde directrice, on obtient une équation de condition
et l'équation de la surface engendrée est, par suite,
Réciproquement, toute équation de cette forme peut être regardée
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l/jQ
comme obtenue en éliminant les paramètres a, b entre les équations (i) et (2); elle représente donc un conoïde.
Au lieu de s'appuyer sur une droite et sur une courbe, la génératrice peut être assujettie à s'appujer sur une droite et à rester tangente à une surface donnée.
172. Exemples. — 1° Plan gauche. — On appelle ainsi la surface conoïde dont les deux directrices A, A' sont rectilignes.
Prenons la droite A comme axe des z; on obtient une génératrice quelconque en joignant les traces des droites A, A' sur un plan parallèle au plan donné; prenons l'une des génératrices ainsi obtenues pour axe des x\ enfin, supposons le plan yOz parallèle à A', le plan xOy étant parallèle au plan directeur; les axes étant ainsi déterminés, les équations de A sont a? = o, jK = o, et celles de A' : a* = a, ^ = bz.
Les équations d'une génératrice sont de la forme
z = A, y = mx,
puisque cette droite doit s'appuyer sur l'axe des z et être parallèle au plan xOy; en exprimant que la génératrice rencontre A', on obtient la condition
bh = ma.
Il ne reste plus qu'à éliminer les paramètres variables m, h; ce qui donne l'équation du conoïde
bzx — ay = 0.
On voit que la section de cette surface par un plan parallèle à yOz est représentée par les équations
37 = a, bzx — ay =: o,
qui définissent une droite. Cette droite mobile rencontre les génératrices du premier système et reste parallèle au plan zOy.
De plus, soient Xq, yo, Zq les coordonnées d'un point M de la surface trouvée, de façon que
bzoXQ = ayo;
on peut représenter une droite du premier système par les équations
bh
et déterminer h de façon que cette droite passe par M, car les deux équations
bh
Zo= n, yo= — •2*0
l5o CHAPITRE VIII,
sont compatibles; de même on peut déterminer a, de façon que Xo = a, bzo— ajo = o.
On voit aussi qu'il passe deux droites par chaque point de la surface trouvée. Nous verrons plus loin que c'est une propriété générale des surfaces du second degré.
1° Hélicoïde à plan directeur. — Considérons une hélice définie par les équations
a?=Rcosa, ^=:Rsina, z = a'x\
une droite perpendiculaire à l'axe du cylindre sur lequel cette hélice est tracée et qui s'appuie sur l'axe a pour équations
^ =. A, j'^a^tanga;
en exprimant que la droite rencontre l'hélice, on a la condition aa = /?; l'équation du conoïde engendré est donc
— = tang - • se ° a
Surfaces de révolution.
173. On appelle sur/ace de l'évolution toute surface engendrée par la rotation d'une courbe fixe, plane ou gauche, autour d'un axe A. Tout point de la courbe donnée décrit un cercle ayant son centre sur l'axe et dont le plan est perpendiculaire à cet axe, et qu'on nomme parallèle . Une surface de révolution peut donc être considérée comme engendrée par un cercle mobile dont le centre décrit une droite fixe (l'axe) et dont le plan reste perpendiculaire à cette droite, c'est-à-dire un cercle ayant pour axe la droite A; ce cercle mobile étant assujetti à rencontrer une directrice fixe.
Ce second mode de génération va nous permettre de trouver la forme de l'équation de toute surface de révolution.
En effet, tout cercle dont le centre est sur un axe A perpendiculaire à son plan peut être considéré comme l'intersection d'une sphère ayant son centre en un point quelconque de l'axe et d'un plan perpendiculaire à cet axe; et, par conséquent, si P = o est l'équation d'un plan perpendiculaire à A et o- = o, l'équation d'une sphère déterminée ayant son centre sur A, les équations de tout cercle satisfaisant aux conditions données pourront se mettre sous
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l5l
la forme
et réciproquement, quels que soient a et b, ce système représente un cercle satisfaisant à ces conditions. Pour que ce cercle rencontre une courbe fixe, il faut et il suffit qu'il y ait entre a el b une relation
qu'on obtiendra en éliminant x^y, z entre les équations du cercle mobile et celles de la directrice donnée; donc la surface engendrée
aura pour équation
Ainsi, l'équation d'une surface de révolution quelconque peut toujours être formée au moyen de deux fonctions o", P5 a- = o étant l'équation d'une sphère et P = o celle d'un plan.
174. Béciproqiiement , toute équation de la forme précédente représente une surface de révolution dont l'axe est la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère o- sur le plan P.
En efTet, une équation de cette forme peut toujours être regardée comme obtenue en éliminant deux paramètres a, b entre les équations (i) et (2).
On peut d'ailleurs faire le raisonnement suivant : soient a:o,yo, Zq les coordonnées d'un point M de la surface représentée par l'équation donnée, de sorte que
/('o, Po)= o,
Tq, P^ étant les résultats de la substitution des coordonnées de M aux coordonnées courantes. Les équations
(T = do , P = Po
représentent un cercle passant par M, ayant son centre sur la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère t sur le plan P et dont le plan est parallèle au plan Pq ; or, un point quelconque M^ de ce cercle est sur la surface, attendu qu'en vertu des équations t, = t^,
P, =Po, on a
l52 CHAPITRE VIII.
La surface peut donc être considérée comme engendrée par le mouvement d'un cercle mobile ayant pour axe une droite fixe.
475. Cas particuliers. — Supposons que l'axe de révolution soit l'axe des z, les coordonnées étant rectangulaires et soient
les équations de la génératrice; un cercle ayant O^ pour axe est défini par les équations
ou, plus simplement,
Puisque ce cercle doit rencontrer la courbe donnée, on doit poser
fHb)+f\{b) = a' et, par suite, la surface engendrée a pour équation
Si la courbe génératrice est dans le plan ^O^, par exemple, et définie par Féquation
on a, pour un parallèle quelconque,
a72+j2 = p2^ /(p,5) = o; donc l'équation demandée est
Application. — Équation du tore. — Considérons le cercle ayant pour équations
la surface engendrée par ce cercle tournant autour de l'axe des z a pour équation
(v/^24 j2 aY -+- ^2 — R2 = o ou
a72 + j2 i ^2)2 2(a2 + R2) (a;2 +JK^) + 2(«2 R2)52 4. ( «2 R2 )2 ^^ o.
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l53
Équation générale des surfaces de révolution du second degré.
176. Supposons qu'on prenne des axes rectangulaires, l'axe des z étant l'axe d'une surface de révolution du second degré; la section par le plan ;rO z, c'est-à-dire la courbe méridienne, est une conique ajant pour axe de sjmétrie l'axe O^; son équation dans le plan xOz sera donc de la forme
Aa-2-H X'z^-hiCz+B = o;
donc la surface elle-même a pour équation
A(ar2-^jK2)-4- A'^2-f-2C^-4-D =o OU
A(3-2-hj2 + -2)4- 2C--f-D + (A'— A)52 =o.
Si l'on fait un changement quelconque de coordonnées, la fonction
se change identiquement en Acr, et z devient une fonction linéaire P des nouvelles coordonnées; donc l'équation la plus générale d'une surface de révolution du second degré est de la forme
Acr + P2 = 0,
A étant une constante et a- et P ayant la signification déjà donnée. Réciproquement, toute équation de cette forme représente évidemment une surface de révolution du second degré.
Nous allons vérifier ce résultat sur des exemples particuliers.
