Exemples de surfaces de révolution du second degré

i" Ellipsoïde. — Prenons trois axes rectangulaires et considérons l'ellipse tracée dans le plan des x, z et ayant pour équations

si l'on fait tourner cette ellipse autour de O-z, elle engendre un ellipsoïde de révolution ayant pour équation

Si a > c, cette surface porte le nom ^'ellipsoïde aplati; si a< c, c'est un ellipsoïde allongé.

l54 CHAPITRE VIII.

1° Hyperboloïde de révolution à une nappe. — Surface engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe imaginaire. L'équation de la méridienne étant

celle de l'hyperboloïde sera

On voit que tout plan parallèle au plan des x, y, ayant pour équation z ■= h, coupe la surface suivant un parallèle réel, dont le rayon a pour expression

Cette surface peut être engendrée d'une autre manière. Considérons une droite A et un axe, et prenons pour axe des x la perpendiculaire commune à l'axe et à la droite A, l'axe des z étant l'axe de révolution, et enfin l'axe des y étant perpendiculaire aux deux autres. Les équations de A sont de

la forme

X = a, y = mz.

La surface engendrée par A, tournant autour de 0^, a donc pour équation

372 ^y1 = «2 -I- ni2 i^2 OU

il suffit de poser m = ± — pour que cette équation coïncide avec celle de

l'hyperboloïde trouvé plus haut; ce qui prouve que cette surface peut être engendrée de deux manières, soit en faisant tourner la droite A

soit en faisant tourner la droite A'

l'une et l'autre autour de l'axe des z.

3" Hyperboloïde de révolution à deux nappes, — Considérons l'hyperbole ayant pour équation, dans le plan xOz,

Si cette courbe tourne autour de son axe réel, elle engendre la surface défi-

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l55

nie piir l'équalion

x^ + yï 5^

if :, -+- I = o ;

un parallèle étant défini par

z — h, ar2 -+- jK* = -- (A' — c2)

n'est réel que si h'y> c ou /t < — c. La surface n'a aucun point entre les plans ayant pour équations z •= — c, ^= + c; elle a donc deux nappes.

4° Paraboloïde de révolution. — Soit

l'équation d'une parabole tracée dans le plan xOz; la surface engendrée par cette parabole tournant autour de son axe a pour équation

xi -f-JK* — 2/?^ = 0.

Si l'on suppose /» > o, cette surface n'a de points réels que du côté des z positifs.

5° Cône de révolution. — La méridienne est une droite rencontrant l'axe.

Soient

^ = o, z = X tanga

les équations de cette droite; la surface engendrée a pour équation

x^ -h- y^ — z- cet- a = o.

6° Cylindre de révolution. — Supposons enfin que la droite

tourne autour de Oy, la surface engendrée a pour équation