PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SURFACES DE RÉVOLUTION

179. Théorème. — Les normales à une surface de révolution aux différents points d'un même parallèle rencontrent Vaxe de la surface en un même point et réciproquement .

Prenons l'axe d'une surface de révolution pour axe des z) les coordonnées étant rectangulaires, l'équation de cette surface peut s'écrire

La normale au point (^, JK, z) a pour équation

IX ~ ly ~ —/'(z)'

cette droite rencontre l'axe des z en un point ajant pour coordonnées X=o, Y = o, X = z -\- jf{z) ; ce point, ne dépendant que de s, reste donc le même pour tous les points d'un même parallèle.

Réciproquement, supposons qu'une surface soit telle que les normales menées à cette surface en tous les points de toute section plane, dont le plan est parallèle à un plan déterminé, rencontrent une droite perpendiculaire au plan de cette section; si cette droite

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. iSj

est prise pour axe des ;;, les coordonnées étant rectangulaires, et la surface ajant pour équation /{^,y, z) = o, la condition pour que la normale au point (x^y, z) rencontre cet axe est

or, si ;; a une valeur constante z^^ l'équation y( a:, jk> ^o) = o donne

f'x+y'xf'y = 0\

la condition obtenue peut donc s'écrire

^-^yy'x = o;

ce qui prouve que l'expression x- -\-y- reste constante quand z ^= z^/, on a donc x'^ -f-jK" = c? c étant une constante dont la valeur dépend de ^0- Gela revient à dire que x- -{- y^ est une fonction de z seulement et, par suite, que l'équation de la surface est

Ce théorème est donc démontré.

On peut l'établir encore ainsi. La normale en un point M étant perpendiculaire à la tangente en M à la section plane menée par M parallèlement au plan donné, sa projection sur le plan de cette section est normale à la section ; donc la normale à la surface rencontrant l'axe donné, la normale à la section rencontre le pied de l'axe; cette section est donc telle que toutes les normales rencontrent un point fixe et, par suite, c'est une circonférence. On en conclut immédiatement que la surface est de révolution.

180. Le plan tangent en tout point d'une surface de révolution est perpendiculaire au plan du méridien qui passe par ce point.

La proposition est évidente géométriquement. En effet, le plan d'un parallèle étant perpendiculaire aux plans des méridiens, la tangente en M au parallèle est perpendiculaire au plan du méridien passant par M et, par suite, le plan tangent en M, contenant la tangente au parallèle, est perpendiculaire au plan méridien.

Voici, à titre d'exercice, la vérification par le calcul. Soit

l58 CHAPITRE VIII.

l'équation d'une surface de révolution, en posant

c = (^x — û^oY + (y — roY -^ (z — ^oT , P = ax-^by-hcz. Le plan tangent au point M(j:^,^, -s) a pour équation

^^~'^>\d^ dx~^dP dx)

c'est-à-dire

2^[(X-:r)(^-^o) + (Y-r)(7-Jo)-i-(Z-5)(.

On peut remarquer que l'équation

{^-x){x-xo)^{^-y){y-yo) + {1-z){z-zo) = o

est celle du plan perpendiculaire à AM, A étant le point de coordonnées

^0, J'o) -Su, et que

est le plan du parallèle mené par M; l'intersection de ces deux plans est perpendiculaire au plan méridien mené par M; donc la proposition est vérifiée. On peut aussi remarquer que le plan méridien de M ayant pour équation

abc

x — x^ y~yo ^ — -0 la condition d'orthogonalité des deux plans (i) et (2) est àf

àf

abc

x — xo y—yo z — zo

elle est évidemment remplie.

181. Plan bitangent au tore. — Nous avons trouvé l'équation du tore

La méridienne se compose de deux cercles égaux, symétriques par rapport à l'axe des z; considérons une tangente commune intérieure à ces deux cercles; le plan mené par celte droite et perpendiculaire au plan méridien est bitangent au tore; je dis que ce plan coupe la surface suivant deux

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l5g

cercles. En effet, le cercle de l'infini est un parallèle double; il en résulte que le plan considéré coupe la surface du tore suivant une courbe du 4* degré ayant quatre points doubles, dont deux sont les points cycliques du plan bitangent et les deux autres les points de contact. La section se décompose donc en deux coniques passant par les points cycliques, c'est-à-dire en deux cercles.

C'est ce que nous allons vérifier par le calcul. Soit tp l'angle que le plan bitangent fait avec le plan des x, y. Faisons un changement de coordonnées en conservant l'axe désuet faisant tourner autour de l'angle cp l'angle xOz. Les formules de transformation se réduisent ici aux suivantes

a7 = a',coscp — Zjsincp, y = y^, ^ = a"i sin'^ H- ^i coscp ;

on devra faire 5, = o pour avoir l'équation de la section dans son plan, ce qui donne, en supprimant les indices,

(ar2-f-72+rt2 R2)2 = 4^.2(^2 R2^^ 4 a^J^^.

En appliquant la méthode donnée Tome II, page i34, on reconnaît que cette équation représente deux cercles. On peut arriver à ce résultat de la manière suivante : ordonnons par rapport à y, ce qui donne

J'*-+-2^2(^î,rt2 R2)^(^2^ a'. R2)2 4^2(«2 R2^ 4^2^,2 o,

ou, après une transformation facile,

jr*-^ 272(572— a2+R2)+ (,r2— a2+ R«)2 = 4 R27,

équation qui se met sous la forme

{x--\-y^-—a^-^ Vi.- — -xKy) {x- -^ y'^ — a"- -^ K'^-\-i\\y) = o.

On obtient bien ainsi deux cercles dont les centres sont sur l'axe des y à une distance de l'origine égale au cercle générateur.

Surfaces de translation.