Considérons deux courbes définies par les équations
et
(Cl) x=fx{v), j = cp,((0, z=^i{v).
Le milieu de la droite joignant un point P de la première à un point Q de la seconde décrit une surface définie par les équations
ix=f{u)-^fi{v), -ly = o{u) -\- Ox{v), 23 = '].(«) -H (î^,(c).
l60 CHAPITRE VIII.
Ces surfaces, auxquelles M. S. Lie a donné le nom de surfaces de translation, peuvent être engendrées de deux, façons par la translation d'une courbe. Effectivement, si v conserve une valeur constante, ce qui revient à supposer le point Q fixe, le milieu de QM décrit évidemment, quand M se déplace sur la première courbe C, une courbe homothétique G', et dont le rapport de similitude est égal à -|-; si le point Q décrit la seconde courbe Ci, la courbe G' éprouve une translation et se déplace sur la surface obtenue. On verrait de même que cette même surface peut être engendrée par la translation d'une courbe Gj homothétique à Gi dans le rapport i. Si l'on prend
x=f{u)-^fi{v), 7 = o(m) + Oi(p), z = ^{u) ^ ^x{v),
on aura une surface susceptible d'être engendrée par la translation d'une courbe égale à G ou d'une courbe égale à Gi, ce qui est d'ailleurs évident par les formules précédentes, car, si p = t'o» oxv obtient le point dont les coordonnées sont/(M)-f-/i(Po), ?(") + ?i(<^o), ^I^C") + 4^1 (^o)j en faisant subir au point ayant pour coordonnées /(m), cp(«), "^{u) une translation dont les composantes sont/i(po), ^i{^o), '^^{v^,),tl qui reste par suite la même pour tous les points de la courbe G.
Ainsi, la courbe u = const. est une courbe égale à G et qu'on peut faire coïncider avec G par une translation; de même, la courbe v — const. est une courbe égale à G\.
Exemple. — Les courbes G et Ci sont définies par les équations
■xp
iq
la surface de translation correspondante est déterminée par les formules
ip iq -^
son équation est donc
P 9 Nous étudierons plus loin cette surface qui est un paraboloïde.
EXERCICES
1. Étant données deux droites OA, OB, trouver la surface engendrée par la droite OM qui fait avec OA et OB deux angles MOA, MOB dont la somme est constante.
2, Lieu des points tels que la somme des distances de chacun d'eux à trois plans fixes soit constante.
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. l6l
3. Une droite de longueur constante se déplace de façon que les extrémités glissent sur deux droites fixes, non situées dans un même plan. Lieu décrit par un point marqué sur cette droite; surface engendrée par la droite.
A. Lieu des centres des parallélogrammes qui ont leurs sommets sur les côtés d'un quadrilatère gauche.
5. Le côté AB d'un triangle ABC est inscrit dans un angle fixe MON, le plan du triangle fait avec le plan de cet angle un angle constant; trouver le lieu du sommet C.
— On trouve une ellipse : la somme ou la différence de ses demi-axes est égale au diamètre du cercle circonscrit au triangle AOB. (Terquem.)
6. Lieu des points dont la somme des distances aux côtés d'un angle droit est constante.
7. Lieu des points dont la somme des distances aux côtés d'un trièdre trirectangle est constante.
8. On donne deux triangles ABC, A'B'C. Par un point quelconque M du plan ABC on mène les droites MA, MB, MC; on prend dans l'espace un point S, tel que dans le tétraèdre SA'B'C on ait
