Lieu des points équidistants d'une droite et d'un plan
32. Lieu des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites quelconques est constante.
33. Prouver que la surface qui a pour équation, en axes rectangulaires,
x^-\- y^-r- z^ — 3 xyz = a^ est de révolution. Trouver son axe.
34. On donne un cylindre droit vertical; une hélice tracée sur ce cylindre ; une sphère inscrite dans ce cylindre. Une droite horizontale se meut en s'appuyant sur l'hélice et en restant tangente à la sphère. Equation de la surface engendrée. (Dewulf.)
3o. Un conoïde, circonscrit à une sphère, a pour directrice rectiligne une tangente à cette surface, perpendiculaire au plan directeur. On demande : 1° l'équation du conoïde ; 2° les équations de la courbe suivant laquelle il touche la sphère.
— La courbe de contact est la même que la courbe trajectoire de l'Exercice 4 du Chapitre VL En outre, si l'on considère le triangle sphérique ayant pour côtés deux quadrants perpendiculaires et la demi-trajectoire passant par leurs extrémités, ce triangle est équivalent au carré construit sur le rayon de la sphère. (Viviani.)
36. Une circonférence G, de rayon R, roule dans l'intérieur d'une circonférence fixe C de rayon 2R, en entraînant une circonférence C" qui a, avec la circonférence C, un diamètre commun, mais dont le plan est perpendiculaire au plan des circonférences C, C. On demande : 1° quelle est la ligne décrite dans l'espace par un point quelconque lié à la circonférence C; 2" quelle est la surface engendrée par C. (E. Catalan.)
183. Définition des surfaces réglées. — On nomme surface réglée toute surface qui peut être engendrée par le mouvement d'une ligne droite. Ainsi par exemple le plan, les cylindres, les cônes, l'hélicoïde à plan directeur, le lieu des tangentes à une courbe gauche, etc., sont des surfaces réglées. Nous verrons que toutes les surfaces du second degré sont réglées ; seulement il y aura à distinguer celles qui admettent des génératrices rectilignes réelles.
484. Expression des coordonnées d'un point d'une surface réglée ait moyen de deux paramètres. Plan tangent en un point. — Considérons une surface réglée S, et soit G une génératrice rectiligne de cette surface; G rencontre une courbe G tracée sur S en un point P ; soient x^y, z les coordonnées de P : ce sont des fonctions d'un paramètre u. Si nous supposons que par chaque point P de la courbe G passe une génératrice G déterminée, les coefficients directeurs a, 6, c de G sont déterminés en fonction de u\ soit M un point de la génératrice G, nous pouvons considérer la distance PM comme un second paramètre arbitraire ^, et, en supposant les axes rectangulaires et
les coordonnées X, Y, Z de M sont données par les formules
X = x-\-av, 'Y=y-^bv, Z — z -\- cv.
Si nous représentons par a\ . . . , x', . . . les dérivées de a, rapport à m, l'équation du plan tangent au point M est
X — X — av Y — 'y — bv Z — z — cv
ou, plus simplement,
\-x Y— jK Z—z
par
On vérifie ainsi que le plan tangent en M contient la génératrice PM, puisque
pour tout point de cette génératrice les éléments de la première et de la dernière ligne de ce déterminant sont proportionnels.
18o. Surfaces développahles. — Cherchons à quelles conditions le plan tangent à une surface réglée est le même tout le long d'une génératrice.
L'équation du plan tangent en M développée suivant les éléments de la seconde ligne du déterminant peut se mettre sous la forme
A -f- Bf = o ;
pour que celte équation soit indépendante de f , il faut et il suffit que A et B aient un rapport indépendant de v^ sans quoi l'équation précédente représenterait, quand v varie, une infinité de plans passant par l'intersection des deux plans A = o, B = o.
Il faut donc que les équations
abc
représentent un même plan et, par suite, que les mineurs du premier déterminant relatifs à la première ligne soient proportionnels aux mineurs correspondants du second déterminant; en d'autres termes, dans le déterminant
abc
les mineurs relatifs à deux lignes doivent être proportionnels; donc ce déterminant est nul, et réciproquement, s'il en est ainsi, les mineurs relatifs à deux lignes sont proportionnels; donc les déterminants A et B ne diffèrent que par un facteur indépendant de v. La condition demandée est donc
En posant
A = bc' — cb\ B=ca' — ac', C = ab' — ba',
D = Kx'-i-By-i-Gz'.
Interprétation de la condition D = o. — Si nous supposons maintenant que V soit une fonction de u, le point M décrira une courbe. Cherchons dans quel cas la tangente en M à cette courbe sera, pour tous les points M, la droite PM elle-même. Les coordonnées X, Y, Z sont dès lors des fonctions de u, et l'on a
X' = aj'-H a'v-{- av' ,
Y' = y -{- b' V -\- bv',
TJ — z' -{- c' V -\- cv',
l66 CHAPITRE IX.
et nous voulons que X', Y', Z' soient proportionnels k a, b, c; ce qui exige que
abc
ou, en introduisant une variable auxiliaire X,
x' -h a' V — «X = 0, y -\- b' V — 6X = o, z' -\- d V — cX = o.
Il faut donc qu'il existe des valeurs de p et de X vérifiant ces trois équations, qui sont linéaires ; donc il faut et il suffit que D = o. Si cette condition est remplie, les équations précédentes se réduiront à deux, desquelles on pourra tirer v en fonction de ii. Aussi, en résumé, pour que le plan tangent à une surface réglée demeure le même en tous les points d'une génératrice, et cela, pour toutes les génératrices, il faut et il suffit que les génératrices rectilignes de la surface soient toutes tangentes à une même courbe gauche. On dit alors que la surface est développable, et la courbe gauche que nous venons de définir se nomme Varête de rebroussèment.
On peut encore remarquer que si D n'est pas identiquement nul, mais s'annule pour une valeur de u, le plan tangent est le même tout le long de la génératrice qui correspond à cette valeur de u.
186. De'termination de l'arête de rebroussement. — Nous supposons remplie la condition
Plx' -\- Bj'-(- Q.z' = o.
Les équations écrites plus haut donnent alors
cy — bz' az' — ex' bx' — ay
équations équivalentes en vertu de la condition précédente et de l'identité
Aa + B6 -h Ce = o.
Les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement sont donc
„ cy' — bz' ,, - az'—cx' ^ bx' — av'
Cas particulier . — Supposons les équations de la génératrice données sous la forme
X = az-f-a, Y = 6s-)-p.
On peut poser a? = a, j' = p, ^ = o et recommencer les calculs précédents
NOTIONS SIR LES SIMIFACES UÈGI.ÉES.
on trouvera comme condition, pour que la surface soit développable,
a'P' — 6'a'= o et les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement seront
' a ab — ba
mais 8'= — r-, donc on peut écrire a '
(la — aa.
Thkorème. — Le plan tangent en un point M dUme surface développable est le plan osculateur à l'arête de rebroussement au point de contact de la génératrice rectiligne qui passe par M.
En effet, on peut supposer que le point P, origine des abscisses v soit précisément le point de contact de la génératrice G avec l'arête de rebroussement. On a alors
a = kx' . b = /-y', c = kz'
et les coordonnées du point M sont
X = a? -f- (Pip', Y^=^y-^wy\ Z == z -{- w z\ en posant w = kv. Le pian tangent en I\l a donc pour équation
x'-^wx" y'-i-wy" z'-^-wz"
I x' y' 5' ou, plus simplement,
Ce qui démontre la proposition.
187. Point central, ligne de striction, paramètre de distribution, formule de Chasles. — Considérons deux génératrices G, Gi d'une surface réglée quelconque et soit RRi leur perpendiculaire commune. Si Gj vient se confondre avec G, le pied R de la perpendiculaire commune sur G tend, en général, vers un point limite déterminé w, qu'on nomme le point central de G; le lieu des points centraux se nomme ligne de striction. En conservant les mêmes notations, nous allons chercher la limite de PR. Si nous appelons a,, 61, Ci les paramètres directeurs de Gi, l'une des équations de
IbO CHAPITRE IX.
la perpendiculaire RRj est
X — Xi Y — jKi Z — zi
ai bi Cl
bci — cbi ctZi — aci abi — bai
^lîj*^!) ^1 étant les coordonnées du point Pj de rencontre de Gi avec la courbe C.
Les coordonnées de R étant x -+- a\>, y -l- bv, 5 -h cp, v est déterminé par l'équation
\ X — xi -h av y — yi-h bi> z — zi -h cv ai bi Cl
I bci — cbi coi — aci abi — bai d'où
abc
ai bi Cl
bci — cbi cai — aci abi—bai
Si l'on pose
x—xi J—yi z—zi
ai bi Cl
bci — cbi cai — aci abi—bai
xi = x-h ^x , yi—y-^^y, zi = z ■+- ^ZJ
en divisant par Am et faisant tendre Am vers zéro, on obtient
lira V =
X y z abc ABC
Le numérateur peut se simplifier. En effet, le coefficient de a?', par exemple, est égal à
b{ab' — ab') — c{ca' — a' c) = a{aa' -^- bb'-{-cc') — a'{a'^-\- b^ -^ c^-);
or l'équation «^ i ^2 j ^2 = i donne aa' -\- bb' -\- ce' =^ o, donc ce coefficient se réduit à — a'; on a ainsi finalement
lim p = —
Il convient de remarquer qu'on ne peut supposer que l'on a constamment A = B = G = o, car, dans ce cas,
d'où l'on tire
- == const. et — = const.,
Cl, par suite, la surface serait un cylindre. Nous laisserons ce cas particulier (le côté.
Quand la surface est développable, le point central est le point de contact de G avec l'arête de rebroussement. En effet, si l'on suppose que le point P soit précisément ce point de contact, on a
et, par suite,
aa! -ir bb' -h ce' = o
Reprenons le cas d'une surface réglée quelconque, et soit o l'angle des deux, génératrices infiniment voisines G, Gi. Si 8 est la longueur de la perpendiculaire commune à G et Gi, on a
Xi — T ji—y zi — abc ai bi Cl
d'où
sintp (6 Cl — cbi)^-T- (cai— aciY-^ {abi — baiY
Iim -
A2-f-Bî-r-G2
\x'-^Bv'^Cz'
si la surface est développable k — o, et réciproquement.
Cela étant, prenons pour point P, origine des abscisses i>, le point central to, c'est-à-dire posons
et soit wM = p, M étant un point quelconque de la génératrice G; cherchons le plan tangent en M; son équation est
X — x Y— jK Z — s
Les cosinus directeurs de ce plan sont proportionnels à
bz' — cj''-r-Ap, ex'— az'-i-Bp, ay' — bx'-h Gp;
ceux du plan tangent en 10 sont proportionnels à
bz' — ey' , ex' — az\ ay' — bx'.
Soit 6 l'angle de ces deux plans; on a
. \/l.[B{ay—bx') — C(cx'—az')]^ langO = p - — . , ; ^^ ^.
^ ^ ^{bz'~cyy^p^x(bz'—cy)
Or
SA(èz'— cy)= ^x\Bc — bG) = a'x'-+- b'f-h c'z'= o
ot, par suite, en vertu du résultat précédent et de l'identité de Lagrange, on a
