I.[B{ay—bx') — C{cx'— az')]^ = (Ax'-hSy-h Gz'f

on trouve ainsi, en définitive,

tangO = p ^^,-

kx' ■+■ By -+- Gz' k

pourvu que l'on compte 6 avec le signe -i- dans un sens convenable. Cette formule a été donnée par Chasles.

Si p croît de o à -I- 00, 6 a arie de o à H , si l'on suppose A' > o , et si p

décroît de o à — ce, G varie de o à Il en résulte que tout plan mené par G

est tangent à la surface en quelque point de G.

Cette dernière remarque entraîne une conséquence importante.

Si l'on cherche le nombre de plans tangents menés par une droite A à une surface réglée, on en trouvera, en général, autant qu'il y a de points communs à la surface et à la droite A. En effet, soit M l'un de ces points, il passe par M une génératrice rectiligne G, et le plan, formé par A et G, est un plan tangent. Réciproquement, si nous considérons un plan tangent à la surface mené par A, ce plan tangent contient une génératrice qui rencontre A en un point M; ce point est le point de contact. II y a donc, en général, autant de plans passant par A que de points de rencontre de A avec la surface.

Ce raisonnement paraît en défaut pour une quadrique, car nous verrons plus loin que par chaque point d'une quadrique passent deux génératrices rectilignes; mais les quatre génératrices, menées par les deux points d'intersection de A avec une quadrique, se trouvent dans deux plans, et l'on n'obtient, en définitive, que deux plans tangents.

On nomme classe d'une surface le nombre de plans tangents qu'on peut lui mener par une droite. La classe d'une surface réglée est donc égale à son degré.

Les surfaces développables ne sont pas comprises dans le raisonnement précédent, puisque un plan quelconque mené par une génératrice n'est pas

tangent, en général, à la surface. Dans le cas des surfaces développabies, on nomme classe le nombre de plans tangents qu'on peut mener par un point quelconque.

188. Nous avons vu que les cosinus directeurs du plan tangent en M sont proportionnels à

A-4- - (ôV-cy), ^-^-{cx'—az'), Q-i- -{ay'—bx');

donc, si M est à l'infini sur G, les cosinus sont proportionnels à A, B, C.

Si l'on mène par un point fixe, par exemple par l'origine des coordonnées des parallèles à toutes les génératrices G, on obtient un cône qu'on nomme le cône directeur de la surface. Pour obtenir les cosinus directeurs du plan tangent à ce cône le long de la génératrice g parallèle à G, considérons deux génératrices infiniment voisines g et gi, dont les cosinus sont a, 6, c et a -r- Aa, b -T- A6, c -r- Ac. Le plan mené par g et ^.^1 a pour équation

x{blc — clb) -\-y(c\a — a\c) -h z{a\b — 6Aa) = o;

donc le plan tangent cherché a pour équation

x{bc' — cb') -\- y{ca — ac' ) -1- z{ab' — ba') = o.

Ainsi le plan tangent à la surface réglée, dont le point de contact est à l'infini sur G, est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de g. Il en résulte que le plan tangent au point central, plan que nous appellerons le plan central, est perpendiculaire au plan tangent suivant g au cône directeur.

Dans le cas particulier où les génératrices G sont toutes parallèles à un même plan A, le cône directeur se réduit à un plan directeur. Alors la perpendiculaire commune à deux génératrices G, G] perce le plan A au point d'intersection des projections de G et Gi sur A; le point central est donc le point de G qui se projette sur A au point de contact de la projection de G avec son enveloppe, et le plan central est perpendiculaire au plan directeur A.

189. Dans toute surface réglée, le rapport anharmonique de quatre plans tangents menés par une même génératrice G est égal au rapport anharmonique de leurs points de contact.

Gela résulte immédiatement de la formule de Chasles. Coupons le faisceau des quatre plans tangents par une perpendiculaire au plan central; les dislances des points d'intersections au plan central, proportionnelles aux tangentes des angles que les plans tangents font avec le plan central, sont aussi proportionnelles aux distances des points de contact au point central. Si l'on préfère, en prenant pour axe des z la génératrice G et pour plan des a?, z le plan central, l'origine étant le point central et enfin les coordonnées étant

rectangulaires, l'équation d'un plan tangent en M dont la cote est z étant

y = mx, on a

d'où il suit que

/ni — m^ m^ — nis Z\ — 23 , ^i — Zi, m-i — m^'m-i — nii, Si — Zi^'zz — z^

190. On déduit de là que, si deux surfaces réglées ont une génératrice commune G, elles ont même plan tangent en deux points de G, et, si elles en ont plus de deux, elles se raccordent tout le long de G.

C'est d'ailleurs ce que montre le calcul; en effet, comptons les distances à partir du point central w de la première surface, et soit waii = pi, coi étant le point central de la seconde, enfin soit ôj l'angle que le plan central de la seconde surface fait avec le plan central de la première. Si l'on nomme 6' l'angle que le plan tangent en M à la seconde surface fait avec son plan central, on a

tango = |, tango' = ^;

les deux plans tangents coïncideront si

6' = e — Oi, p' = p — pi,

c'est-à-dire ce qui donne

tang(6-6,)

P — Pi k'

^' (I ~ '''"^^^ ) = (P - Pi) (i + 7, tangôi ^

On obtient ainsi une équation du second degré en p.

Si les deux surfaces ont même plan directeur, 6i = o et l'équation s'abaisse au premier degré, et, par suite, il n'y a plus qu'un point où le plan tangent soit le même.

Donc, si deux surfaces réglées ont trois plans tangents communs en trois points d'une même génératrice, elles sont tangentes en chacun des points de cette génératrice, et, dans le cas où elles ont même plan directeur, si elles ont deux plans tangents communs en deux points d'une génératrice commune, elles se raccordent tout le long de cette génératrice.

191. Si l'on connaît les plans tangents en trois points A, B, G d'une génératrice G, le plan tangent en tout autre point M est déterminé, comme le montre le théorème du n" 189. On peut l'obtenir par une construction ingénieuse indiquée par MM. Mannheim et Dewulf. Menons par G un plan H quelconque et, dans ce plan, traçons sur AB un segment capable de l'angle que le plan tangent en B fait avec le plan tangent en A; puis, du même côté, traçons sur BG un segment capable de l'angle que le plan tangent en G fait

avec le plan tangent en B; les deux cercles obtenus se coupent en B et en un second point D; l'angle BDM est égal à l'angle que le plan tangent en M fait avec le plan tangent en C, car, si l'on coupe le plan H par des plans perpendiculaires menés par DA, DB, DG, DM, le rapport anharmonique du faisceau de ces quatre plans est égal à celui des quatre points A, B, G, M. Inversement, si le quatrième plan tangent est donné, la même construction permet de déterminer son point de contact M.

192. Enfin, nous indiquerons une détermination remarquable du point central donnée par M. G. Darboux. Si l'on porte sur une perpendiculaire à G, menée par le point central, une longueur égale à A: de O en A, l'angle MAO

est précisément égal à 0, puisque tangMAO = vt-t- * Or on peut mener par G

deux plans tangents au cercle de l'infini, qui, par cela seul qu'ils passent par G, sont aussi tangents à la surface considérée.

Si l'on conserve les mêmes axes qu'au n° 189, un plan mené par G, ayant pour équation^ = mx. sera tangent au cercle de l'infini si m = ± i.

Le point de contact est déterminé par l'équation

7 = tang6 = rh i.

D'après cela, si l'on détermine, avec des axes quelconques, les deux plans tangents au cercle de l'infini menés par la génératrice G, la distance de leurs points de contact divisée par oA donne pour quotient le paramètre de distribution A-, et le milieu du segment formé par ces points de contact est le point central de G.

EXERCICES