Vérifier que les équations
représentent des surfaces développables. (T.)
2. Trouver la surface engendrée par les normales à une surface réglée gauche, menées en tous les points d'une même génératrice.
3. Appliquer les formules générales relatives aux surfaces réglées à la surface engendrée par la droite
6 ' c \a /' b c IXa
ou par la droite
X et fx désignant des paramètres variables. Trouver la ligne de striction.
z I fx c (JL \a
i. Mêmes questions pour la surface engendrée par la droite
ou p
ar la droite
rp
5. Trouver la ligne de striction de la surface développable circonscrite à deux ellipses dont les axes sont parallèles et les centres sont sur une perpendiculaire à leurs plans.
6. Si les deux plans tangents communs à deux surfaces réglées en deux points d'une génératrice commune sont isotropes, ces deux surfaces se coupent le long de cette génératrice sous un angle constant. Réciproque.
7. Deux surfaces réglées ayant même paramètre de distribution le long d'une génératrice commune peuvent être placées de manière à se couper, le long de cette génératrice, suivant un angle constant.
— Examiner ce qui arrive si les paramètres sont égaux et de signes contraires.
8. Sur une surface donnée on peut, par chaque point, tracer deux courbes telles que les normales à la surface le long de chacune de ces courbes décrivent une surface développable.
— En effet, soient a, p, y les angles de la normale avec trois axes rectangulaires; si l'on porte sur la normale une longueur R convenablement choisie à partir du pied, on devra avoir
d(x -{- Rcosa) d (y -{- R cos^) d(z -i- R cosy) cosa cosp cosy
ou, en simplifiant,
dx -h R «f cosa dy -+- R d cosQ dz -+- R ofcosy
cosa cos p cosy
Mais, si l'on ajoute membre à membre après multiplication des deux termes par cosa, cos^, cosy, on reconnaît que la somme des numérateurs est nulle, tandis que celle des dénominateurs égale i. Donc
dcosoL dcos^ dcosy i
dx dy dz R
(Olindes Rodrigues.) Ensuite, en tenant compte des formules
dz :=^ p dx ->!- q dy , dfcosa = — pd cosy,
on obtient
dx -\- p dz dy -\- q dz
dp dq
et, en remplaçant dp par rdx -}- 5 dy et dq par sdx -^ t dy,
(i -\- p^)dx -^ pq dy pq dx -^ {\-+- q^) dy r dx -+- s dy s dx -\- t dy
ou enfin
[s(n-/?2) —pqr'\ dx^-i- [t (i -h p^) — s{i -+- q^-)] dx dy
H- [pqt — s{i-^q^)]dy^ =:o,
dy ce qui donne, en chaque point, deux valeurs de -y- > à chacune desquelles correspond une valeur de R.
