Coordonnées cylindriques. — 11 est quelquefois commode

de déterminer la position du point M en donnant sa cote z, et les

coordonnées polaires /•, o de sa projection sur le plan xOy, de

sorte que

ce =^rcoso, jK=/*sincp,

Ainsi, par exemple, le point M ayant pour coordonnées

x = acos(^, y = asin<f, z ~ ba^,

décrit une hélice tracée sur le cylindre ayant pour équation

34. Remarque, — Dans le système cartésien, un point est déterminé par l'intersection de trois plans; dans le s ystème des coordonnées polaires, un point est commun à une sphère et à une droite, génératrice commune à deux cônes de révolution d'axes donnés et ayant pour sommet commun le centre de la sphère; dans le système de coordonnées sphériques un point est l'intersection d'une sphère, d'un plan et d'un cône; enfin, dans le système des coordonnées cylindriques un point est l'intersection d'un cylindre droit et de deux plans.

D'une manière générale, si l'on considère trois familles de surfaces quelconques ayant pour équations

/(■^, JK> -' 0 = o, fi{x,y,z,T^) = o, /2(37, jKi,^, 0 = o.

i, -^j "C, étant trois paramètres arbitraires; si ^l[x^y,z) est un point commun à ces trois surfaces, ses coordonnées a:, jk, z sont des fonctions déterminées de ^, r,, ^.

Ou peut regarder ^, r, , "C, comme les coordonnées de M; on a ainsi le système le plus général de coordonnées curvilignes.

EXERCICES

1. Une demi-droite fait, avec les trois demi-axes Ox, Ojk, Os, des angles égaux; calculer la valeur commune de ces angles.

2. Soient A, B les deux demi-axes d'une ellipse; a, b; a', b'\ a", b" les demi-axes de sa projection sur trois plans rectangulaires deux à deux : démontrer les formules

A2B2 = a''-b^-^a'-^b'^-ha"^'b"^ (Prouhet).

3. Trouver les coordonnées du centre de gravité d'un système de points dont on donne les coordonnées et les masses, en partant de la même définition qu'en Géométrie plane. Cas où les masses sont égales : centre des moyennes distances.

4. Dans un tétraèdre, les droites que joignent chaque sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourantes; trouver les coordonnées du point de concours G.

5. Les droites joignant les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre sont concourantes; coordonnées du point de concours. Ce point est le milieu des droites considérées et coïncide avec le point G.

0. Calculer sinV en remarquant que le double de l'aire du triangle OMM' est égal à //' sin V, et en appliquant le théorème relatif aux projections d'une aire plane sur trois plans rectangulaires.